数据结构与算法：字典序元音字符串的计数

2023-10-23 16:17:01

仅元音组成的字典序排列字符串：探索其数量之谜

前言

在计算机科学的广阔领域中，数据结构和算法扮演着不可或缺的角色，为我们解决复杂问题提供了强大的工具。本篇文章将带领你踏上一段算法之旅，探索一种特殊的字符串——仅由元音组成的字典序排列字符串。我们将深入探讨如何计算这种字符串的数量，并了解这一问题在计算机科学中的广泛应用。

问题陈述

假设给你一个正整数 n，你的任务是计算长度为 n、仅由元音（a、e、i、o、u）组成的字典序排列字符串的数量。

分析

什么是字典序排列？

字典序排列是指字符串中字符的 ASCII 码值按升序排列。元音的 ASCII 码值范围为 97 至 117，因此字典序排列的元音字符串可以由以下子字符串组成：

"a"，长度为 1
"a" 加上 n-1 个 "e"
"a" 加上 n-1 个 "e" 和 n-2 个 "i"
...
"a" 加上 n-1 个 "e"、n-2 个 "i"、n-3 个 "o"、...、1 个 "u"

动态规划求解

动态规划是一种解决此类问题的常见技术。它将问题分解成一系列较小的子问题，并存储这些子问题的解决方案以避免重复计算。

我们定义状态 dp[i] 表示长度为 i 的字典序排列元音字符串的数量。根据上述分析，状态转移方程如下：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] + dp[i-4] + dp[i-5]

递归求解

递归是一种基于分治思想的求解方法。我们可以定义一个递归函数，它将问题分解成较小的实例，直到找到基本情况。在本例中，基本情况是长度为 1 的字符串，数量为 1。

def count_vowel_strings(n: int) -> int:
  if n == 1:
    return 1
  else:
    return count_vowel_strings(n-1) + count_vowel_strings(n-2) + count_vowel_strings(n-3) + count_vowel_strings(n-4) + count_vowel_strings(n-5)

代码实现（Python）

使用动态规划，我们可以编写以下 Python 代码来计算仅元音组成的字典序排列字符串的数量：

def count_vowel_strings(n: int) -> int:
  dp = [0] * (n+1)
  dp[1] = 1
  dp[2] = 2
  dp[3] = 4
  dp[4] = 8
  dp[5] = 16

  for i in range(6, n+1):
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] + dp[i-4] + dp[i-5]

  return dp[n]