OI 初学者的利器：OpenJudge 聪明的打字员
2023-11-19 12:13:45
聪明的打字员：一个提升你 OI 算法技能的绝佳挑战
子标题 1：踏上 OI 征程，迈过实战训练这道坎
信息学奥林匹克竞赛（OI）是一项激动人心的智力竞赛，它考察选手解决复杂算法问题的创造力和逻辑思维能力。对于初学者来说，在入门阶段往往会遇到一个障碍：缺乏实战训练。
OpenJudge 是一个弥补这一不足的绝佳平台，它提供了大量精选的竞赛题目，其中 [OpenJudge 186/洛谷 P1949/NOI 2001] 聪明的打字员 便是其中之一。本文将深入剖析这道题目，帮助你轻松入门 OI，迈过实战训练这道坎。
子标题 2：聪明的打字员：回文子串处理的经典案例
聪明的打字员是一个经典的字符串处理问题。给你定一个长度为 n 的字符串 S，其中包含大小写字母和数字，请计算有多少个不同的子串（不包括空串）是回文的。
回文串是指正读和反读都相同的字符串。例如，字符串 "abba" 和 "12321" 都是回文串。
子标题 3：算法分析：暴力解法与 Manacher 算法
对于聪明的打字员这道题目，我们可以采用两种解法：
-
暴力解法： 最简单的解法是暴力枚举所有可能的子串，并判断每个子串是否回文。对于长度为 n 的字符串，共有 n*(n+1)/2 个子串，因此暴力解法的复杂度为 O(n^3)。
-
Manacher 算法： Manacher 算法是一种线性的算法，可以解决回文子串问题。它的基本思想是预处理出一个长度为 2n+1 的新字符串 T，其中在每个原字符串字符之间插入一个分隔符（例如 #），并从左到右扫描 T，维护一个以当前位置为中心的回文串的半径。
通过巧妙地利用分隔符，我们可以避免重复计算子串的回文性，从而达到线性的时间复杂度。具体实现细节可以参考算法导论或其他相关资料。
子标题 4：代码实现：C++、Python、Java
为了帮助你更好地理解算法，我们提供了三种不同语言的代码示例：
// C++ 代码示例
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
const int MAXN = 1000005;
int p[MAXN], n;
string s, t;
void Manacher() {
int r = 0, c = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int i_mirror = 2 * c - i;
if (i < r) {
p[i] = min(r - i, p[i_mirror]);
}
while (i - p[i] - 1 >= 0 && i + p[i] + 1 <= n && t[i - p[i] - 1] == t[i + p[i] + 1]) {
p[i]++;
}
if (i + p[i] > r) {
r = i + p[i];
c = i;
}
}
}
int main() {
cin >> n;
cin >> s;
t = "#" + s + "#";
n = t.size();
Manacher();
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += p[i] / 2;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
# Python 代码示例
def Manacher(s):
t = "#" + "#".join(s) + "#"
n = len(t)
p = [0] * n
r = 0
c = 0
ans = 0
for i in range(1, n):
i_mirror = 2 * c - i
if i < r:
p[i] = min(r - i, p[i_mirror])
while i - p[i] - 1 >= 0 and i + p[i] + 1 < n and t[i - p[i] - 1] == t[i + p[i] + 1]:
p[i] += 1
if i + p[i] > r:
r = i + p[i]
c = i
ans += p[i] // 2
return ans
s = input()
print(Manacher(s))
# Java 代码示例
import java.util.Scanner;
public class Main {
private static final int MAXN = 1000005;
private static int[] p;
private static int n;
private static String s, t;
private static void Manacher() {
int r = 0, c = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int i_mirror = 2 * c - i;
if (i < r) {
p[i] = Math.min(r - i, p[i_mirror]);
}
while (i - p[i] - 1 >= 0 && i + p[i] + 1 <= n && t.charAt(i - p[i] - 1) == t.charAt(i + p[i] + 1)) {
p[i]++;
}
if (i + p[i] > r) {
r = i + p[i];
c = i;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
n = input.nextInt();
s = input.next();
t = "#" + s + "#";
n = t.length();
p = new int[MAXN];
Manacher();
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += p[i] / 2;
}
System.out.println(ans);
input.close();
}
}
子标题 5：结语
通过对 OpenJudge 聪明的打字员题目的剖析，我们不仅掌握了一道经典的算法题，更重要的是了解了回文子串问题的解决思路和算法技巧。对于 OI 初学者来说，OpenJudge 是一个宝贵的学习平台，通过不断地练习和思考，你一定能够提升自己的算法能力，为 OI 竞赛打下坚实的基础。
常见问题解答：
-
Q：什么是回文串？
A：回文串是指正读和反读都相同的字符串。例如，字符串 "abba" 和 "12321" 都是回文串。 -
Q：Manacher 算法的时间复杂度是多少？
A：Manacher 算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是字符串的长度。 -
Q：为什么 OpenJudge 是学习 OI 算法的一个好平台？
A：OpenJudge 提供了大量精选的竞赛题目，涵盖了各种算法知识点。通过练习 OpenJudge 的题目，初学者可以逐步提升自己的算法能力，为 OI 竞赛做好准备。 -
Q：如何提高解决算法问题的效率？
A：解决算法问题的效率可以通过多练习、多思考和多总结来提高。平时可以多做一些算法练习题，多思考算法背后的原理和技巧，并总结出一些常用的算法模板和解题思路。 -
Q：OI 竞赛中有哪些常见的算法类型？
A：OI 竞赛中常见的算法类型包括贪心算法、动态规划、搜索算法、图论算法、数论算法等。
