扫除质数障碍，解码算法世界的数学奥秘

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2024-01-28 06:44:40

质数之旅：从基础到奥秘

质数，也被称为素数，是指只能被1和自身整除的正整数。质数在数学中占有重要地位，它们是许多算法和理论的基础。在计算机科学中，质数也扮演着关键角色，例如在密码学、数据加密等领域。

埃拉托斯特尼筛法：质数计数利器

埃拉托斯特尼筛法是一种古老而有效的质数计数算法，以古希腊数学家埃拉托斯特尼命名。该算法的基本思想是：

从2开始，将所有正整数标记为质数。
从2开始，依次取出每个质数p。
从p^2开始，将所有p的倍数标记为非质数。
重复步骤2和步骤3，直到超过所给定的整数n。
计数所有标记为质数的整数，即为小于n的质数数量。

埃拉托斯特尼筛法具有很高的效率，尤其是在计数较大整数范围内的质数时。它的时间复杂度为O(n log log n)。

算法实现：代码实践

为了加深对埃拉托斯特尼筛法的理解，让我们用Python代码来实现它：

def count_primes(n):
    """
    计算小于n的质数数量。

    Args:
    n: 正整数。

    Returns:
    小于n的质数数量。
    """

    # 创建一个布尔数组，标记所有整数是否为质数。
    is_prime = [True] * n

    # 将0和1标记为非质数。
    is_prime[0] = is_prime[1] = False

    # 遍历从2到n的整数。
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        # 如果i是质数。
        if is_prime[i]:
            # 将i的倍数标记为非质数。
            for j in range(i * i, n, i):
                is_prime[j] = False

    # 计算小于n的质数数量。
    count = 0
    for i in range(2, n):
        if is_prime[i]:
            count += 1

    return count


# 测试
print(count_primes(100))  # 25
print(count_primes(1000))  # 168
print(count_primes(10000))  # 1229