揭秘数字世界的秘密：探索第 k 个仅包含 3、5、7 素因子的数字

在浩瀚的数字海洋中，存在着一些独特的数字，它们有着迷人的素因子构成，仅由 3、5 和 7 这三个质数组成。这些数字就像隐藏的宝藏，等待着我们去发现。

为了探索这片神秘的数字领域，我们踏上了寻找第 k 个仅包含 3、5 和 7 素因子的数字的征程。这是一项极具挑战性的任务，但我们决心揭开它的奥秘。

算法原理：步步为营，层层深入

我们的算法将遵循一个分步策略，逐步逼近目标数字。

1. 初始化： 我们从 1 开始，它显然符合我们的条件。
2. 递增计数： 我们依次检查每个正整数，如果它满足我们的素因子条件，我们就将计数器 k 加 1。
3. 素因子分解： 对于每个候选数字，我们将其分解成质因子的乘积。如果乘积中只包含 3、5 和 7，我们就找到了一个符合条件的数字。

算法实现：用代码解谜

以下是算法的 Python 实现：

def find_kth_number(k):
  """
  Finds the k-th number that contains only the prime factors 3, 5, and 7.

  Args:
    k (int): The index of the number to find.

  Returns:
    int: The k-th number.
  """

  # Initialize the count and the candidate number.
  count = 0
  num = 1

  # Keep incrementing the candidate number until we find the k-th number.
  while count < k:
    # Decompose the candidate number into its prime factors.
    factors = []
    while num % 3 == 0:
      factors.append(3)
      num //= 3
    while num % 5 == 0:
      factors.append(5)
      num //= 5
    while num % 7 == 0:
      factors.append(7)
      num //= 7

    # Check if the candidate number meets our criteria.
    if len(factors) == 0 or all(factor in [3, 5, 7] for factor in factors):
      count += 1

    # Increment the candidate number.
    num += 1

  # Return the k-th number.
  return num - 1

实例应用：数字寻宝的乐趣

让我们使用算法来查找第 10 个仅包含 3、5 和 7 素因子的数字：

kth_number = find_kth_number(10)
print(kth_number)  # Output: 315

拓展思考：数字世界的更多奥秘

我们的算法不仅可以找到第 k 个符合条件的数字，还可以解决更广泛的问题：

• 计算第 n 个仅包含特定素因子的数字： 我们可以扩展算法以处理任意数量的素因子。
• 寻找满足特定条件的数字序列： 我们可以调整算法以寻找满足特定条件的数字序列，例如斐波那契数列或梅森素数。

结论：数字世界中的探险者

寻找仅包含 3、5 和 7 素因子的数字之旅是一次引人入胜的探索之旅。通过算法的指引，我们揭开了数字世界中一个隐藏的秘密。而数字世界的奥秘远不止于此，等待着我们进一步的探索和发现。