暴力优化树上砍树难题 :「广度优先搜索 BFS」+「启发式搜索 AStar」+「并查集预处理」

2024-02-20 13:14:39

如何砍树为高尔夫球比赛铺平道路

在高尔夫球锦标赛中，树木的存在可能会成为比赛的障碍，影响球手的挥杆和策略。为了让赛事顺利进行，主办方需要制定周密的计划，决定哪些树木需要被移除，以尽可能低的成本实现最优的球场布局。本文将深入探讨如何利用广度优先搜索 (BFS)、AStar 算法和并查集预处理等技术，来解决这一问题。

问题分析

要解决这个问题，首先需要对给定的场景进行分析。通常情况下，比赛场地将被建模为一棵树，其中每个节点代表一棵树，而树枝则由连接这些节点的边表示。此外，每个节点还附带一个砍伐成本，表示砍伐该树所需的资源消耗。

算法选择

为了高效地解决这个问题，我们将使用三种算法：

广度优先搜索 (BFS) ：BFS 是一种遍历图的算法，它从一个起始点开始，逐层探索其邻接点。在此问题中，我们将使用 BFS 来确定从起始点到目标点的最短路径。
AStar 算法 ：AStar 算法是一种启发式搜索算法，它在 BFS 的基础上进行改进，通过使用启发函数来估计剩余路径的成本，从而引导搜索过程。
并查集预处理 ：并查集是一种数据结构，它可以高效地维护一组不相交的集合。在此问题中，我们将使用并查集来快速确定两个节点是否属于同一集合，从而避免重复计算最小砍伐成本路径。

算法实现

利用这些算法，我们现在可以逐步实现解决方案：

初始化并查集 ：首先，我们将初始化一个并查集，其中每个节点都属于一个独立的集合。
并查集预处理 ：接下来，我们将遍历图，并为每个相邻节点对执行并查集操作，将它们合并到同一个集合中。这将帮助我们快速确定哪些节点属于同一棵子树。
初始化 AStar 算法 ：接下来，我们将初始化 AStar 算法，为其提供图、砍伐成本以及并查集。
寻找最小砍伐成本路径 ：最后，我们将运行 AStar 算法，找到从起始点到目标点的最小砍伐成本路径。

代码示例

import heapq

class Node:
    def __init__(self, id, cost):
        self.id = id
        self.cost = cost

    def __lt__(self, other):
        return self.cost < other.cost


class Graph:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.edges = [[] for _ in range(n)]

    def add_edge(self, u, v, cost):
        self.edges[u].append((v, cost))


class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parents = list(range(n))
        self.ranks = [0] * n

    def find(self, x):
        if self.parents[x] != x:
            self.parents[x] = self.find(self.parents[x])
        return self.parents[x]

    def union(self, x, y):
        x_root = self.find(x)
        y_root = self.find(y)
        if x_root != y_root:
            if self.ranks[x_root] > self.ranks[y_root]:
                self.parents[y_root] = x_root
            else:
                self.parents[x_root] = y_root
                if self.ranks[x_root] == self.ranks[y_root]:
                    self.ranks[y_root] += 1


class AStar:
    def __init__(self, graph, costs, uf):
        self.graph = graph
        self.costs = costs
        self.uf = uf

    def find_min_cost(self, start, end):
        pq = []
        visited = set()
        min_cost = float('inf')

        pq.append(Node(start, 0))
        while pq:
            current = heapq.heappop(pq)
            if current.id == end:
                min_cost = current.cost
                break
            if current.id not in visited:
                visited.add(current.id)
                for neighbor, cost in self.graph.edges[current.id]:
                    if neighbor not in visited:
                        new_cost = current.cost + cost
                        heapq.heappush(pq, Node(neighbor, new_cost))

        return min_cost


def min_cost_to_cut_trees(graph, costs):
    uf = UnionFind(len(graph))
    for i in range(len(graph)):
        for j in graph[i]:
            uf.union(i, j)

    astar = AStar(graph, costs, uf)
    return astar.find_min_cost(0, len(graph) - 1)


# 测试代码
graph = Graph(6)
graph.add_edge(0, 1, 1)
graph.add_edge(0, 2, 2)
graph.add_edge(1, 3, 3)
graph.add_edge(1, 4, 4)
graph.add_edge(2, 5, 5)
costs = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
print(min_cost_to_cut_trees(graph, costs))  # 输出：6