编码之美：LeetCode 315 - 轻松驾驭「右侧小于当前元素的个数」

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2024-01-13 14:32:59

在算法和数据结构的广袤天地里，LeetCode 315 问题犹如一颗璀璨的明珠，闪耀着夺目光彩。它向我们提出了一项看似简单，实则巧妙的挑战：计算右侧小于当前元素的个数。

面对这样的难题，许多求学者会沉迷于繁琐的理论和晦涩的公式，殊不知问题的精髓往往隐藏在最直观的方法之中。本文将以独到的视角，带领你领略 LeetCode 315 的别样风采，用优雅的思路和简洁的代码破解这道难题。

拨开迷雾，直击本质

LeetCode 315 问题的核心在于理解「右侧小于当前元素的个数」这一概念。对于数组中的每个元素 nums[i]，我们希望找到一个计数器，记录下数组中位于 nums[i] 右侧且小于 nums[i] 的元素个数。

乍一看，这个问题似乎需要我们逐个遍历数组中的每个元素，并逐一检查其右侧所有元素。然而，这样的方法不仅复杂，而且效率低下。为了寻求更优的解决方案，我们需要跳出固有思维的束缚，探寻更为巧妙的途径。

树状数组：巧解难题

树状数组（Binary Indexed Tree，简称 BIT）是一种优雅的数据结构，它能够高效地解决一系列与前缀和相关的计算问题。在 LeetCode 315 问题中，树状数组可以完美地胜任「计算右侧小于当前元素的个数」的任务。

树状数组的本质在于将一个一维数组转化为一棵二叉树，并利用二叉树的特性来存储信息。具体而言，树状数组的每个结点都存储着一定范围内的元素和，而每个元素的和都可以通过对多个结点的值进行求和得到。

凭借这一特点，树状数组可以将查找特定范围内元素和的时间复杂度从 O(n) 优化到 O(log n)，大大提高了效率。在 LeetCode 315 问题中，我们可以利用树状数组来存储数组中每个元素右侧小于它的元素个数，并通过对树状数组的操作快速求出结果。

代码实现：简洁与优雅

掌握了树状数组的原理，编写 LeetCode 315 的代码便水到渠成。

import numpy as np

class BinaryIndexedTree:

    def __init__(self, n):
        self.tree = np.zeros(n+1, dtype=int)

    def update(self, i, val):
        while i < len(self.tree):
            self.tree[i] += val
            i += i & -i

    def query(self, i):
        sum = 0
        while i > 0:
            sum += self.tree[i]
            i -= i & -i
        return sum

class Solution:

    def countSmaller(self, nums):
        # 创建一个长度为nums长度+1的树状数组
        bit = BinaryIndexedTree(len(nums)+1)

        # 排序nums并获取其索引
        sorted_nums = sorted(enumerate(nums), key=lambda x: x[1])
        res = []

        for i, num in sorted_nums:
            # 查询右侧小于当前元素的元素个数
            count = bit.query(i)
            res.append(count)
            # 更新树状数组，将当前元素右侧元素个数加1
            bit.update(i+1, 1)

        return res