让你恍然大悟的括号生成技巧

后端

2023-10-03 13:56:57

括号生成：深入探索动态规划算法

动态规划揭秘括号生成之旅

括号生成算法是一个经典的计算机科学问题，旨在生成一组有效的括号序列。这些序列由成对的括号（'(' 和 ') '）组成，其中每个左括号都必须与其配对的右括号对应，且左括号必须出现在右括号之前。

动态规划：分而治之的艺术

动态规划是一种强大的技术，用于解决复杂问题，它将问题分解成一系列较小的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终解决整个问题。

括号生成中的动态规划

对于括号生成问题，我们可以定义以下子问题：

f(n) ：由 n 对括号组成的所有有效括号序列的集合

然后，我们可以使用以下递推公式来计算 f(n) ：

f(0) = {""}
f(n) = { "(" + s + ")" | s ∈ f(n-1) } ∪ { s1 + s2 | s1 ∈ f(i), s2 ∈ f(n-1-i), 0 ≤ i ≤ n-1 }

递推公式详解

"(" + s + ")" 表示在序列 s 的开头和结尾添加一对括号。
s1 + s2 表示将两个序列 s1 和 s2 连接起来。

实例解析

假设我们要生成由 3 对括号组成的所有有效括号序列：

计算 f(0) ：f(0) = {""}
计算 f(1) ：
- f(1) = { "(" + s + ")" | s ∈ f(0) } ∪ { s1 + s2 | s1 ∈ f(0), s2 ∈ f(0-0), 0 ≤ 0 ≤ 0-1 }
- f(1) = { "(" + "" + ")" } ∪ { "" + "" }
- f(1) = {"()", ""}
计算 f(2) ：
- f(2) = { "(" + s + ")" | s ∈ f(1) } ∪ { s1 + s2 | s1 ∈ f(0), s2 ∈ f(2-0), 0 ≤ 0 ≤ 2-1 }
- f(2) = { "(" + "()" + ")" } ∪ { "()" + "", "" + "()" }
- f(2) = {"(())", "()()", "()"}
计算 f(3) ：
- f(3) = { "(" + s + ")" | s ∈ f(2) } ∪ { s1 + s2 | s1 ∈ f(0), s2 ∈ f(3-0), 0 ≤ 0 ≤ 3-1 }
- f(3) = { "(" + "()" + ")" } ∪ { "()" + "()", "()" + "()" }
- f(3) = {"((()))", "()()()", "()(())", "(()())", "(())()"}

因此，由 3 对括号组成的所有有效括号序列为：{"((()))", "()()()", "()(())", "(()())", "(())()", "()"}。

代码实现

def generate_parentheses(n):
  """
  生成由 n 对括号组成的所有有效括号序列。

  Args:
    n: 括号对的数量。

  Returns:
    所有有效括号序列的列表。
  """

  if n == 0:
    return [""]

  result = []
  for i in range(n):
    for left in generate_parentheses(i):
      for right in generate_parentheses(n-1-i):
        result.append("({}){}".format(left, right))

  return result