直线与球体的纠葛：相交与不相交的奥秘揭秘

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2023-12-04 18:52:05

直线与球体的纠葛：相交与不相交的奥秘

导言

在三维空间的广袤舞台上，直线与球体之间上演着一场场纠缠不清的邂逅。它们时而擦肩而过，时而亲密相拥。当这两位几何界的舞者相遇时，又会碰撞出怎样的火花？本文将深入剖析直线与球体的关系，揭秘它们相交与不相交的奥秘。

相交与否，球心距离说了算

直线与球体是否相交，关键取决于球心到直线距离 与球体半径 的大小关系。如果球心到直线距离小于球体半径，那么直线必将与球体相交；反之，如果球心到直线距离大于球体半径，则直线与球体不相交。

图示：

[图片：直线与球体相交与不相交的示意图]

相交点的个数，看球心到直线的距离平方

当直线与球体相交时，相交点可能有两个或一个。如果球心到直线距离平方 等于球体半径平方 ，则直线恰好与球体相切，只有一个交点；如果球心到直线距离平方大于球体半径平方，则直线与球体相交两个点。

公式：

d² = (x0 - x1)² + (y0 - y1)² + (z0 - z1)²

其中：

d² 是球心到直线距离平方
(x0, y0, z0) 是球心坐标
(x1, y1, z1) 是直线上一点的坐标

计算点到直线的距离，两步法搞定

计算球心到直线的距离，可分为两步：

将球心作为原点建立空间直角坐标系。
计算直线与坐标系中任一平面的交点，并利用距离公式计算球心到该交点的距离。

代码示例：

# 给定球心坐标 (x0, y0, z0)，直线方向向量 v 和过直线上一点 p 的坐标 (x1, y1, z1)

# 计算直线与各平面的交点
plane_x = np.array([1, 0, 0])
plane_y = np.array([0, 1, 0])
plane_z = np.array([0, 0, 1])
t_x = ((x0 - x1) * plane_x[0] + (y0 - y1) * plane_x[1] + (z0 - z1) * plane_x[2]) / np.dot(plane_x, v)
t_y = ((x0 - x1) * plane_y[0] + (y0 - y1) * plane_y[1] + (z0 - z1) * plane_y[2]) / np.dot(plane_y, v)
t_z = ((x0 - x1) * plane_z[0] + (y0 - y1) * plane_z[1] + (z0 - z1) * plane_z[2]) / np.dot(plane_z, v)
p_x = x1 + t_x * v[0]
p_y = y1 + t_y * v[1]
p_z = z1 + t_z * v[2]

# 计算球心到直线距离平方
d² = (x0 - p_x)² + (y0 - p_y)² + (z0 - p_z)²