序幕：探索「最大矩形」难题

85. 最大矩形：层层深入，攻克算法难题

在计算机科学的浩瀚世界中，算法宛如一幅错综复杂的迷宫，引导我们踏上求解问题的奇幻之旅。而「最大矩形」难题，则是这迷宫中一道颇具挑战性的关卡。它考验着我们的算法思维和编程技巧，激发我们不断探寻更优解的欲望。

「最大矩形」难题的目标直截了当：在一个由 0 和 1 组成的网格中，求出最大面积的矩形，且该矩形仅由 1 组成。乍一看，这是一个看似简单的计数问题，但深入思考后，你会发现它蕴藏着更深层次的算法奥秘。

为了解开这个谜题，我们需要从网格的每一行入手，将问题分解为一系列子问题。具体来说，对于网格中的每一行，我们都将其视为一个高度为 1 的矩形。然后，我们逐行向上累积，探索每一行上的最大矩形面积。

要解决「最大矩形」难题，一种行之有效的方法是动态规划。动态规划是一种自底向上的求解策略，它将大问题分解为一系列较小的子问题，逐层递推解决。

在我们的情况下，我们可以利用以下状态转移方程来求解子问题：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

其中，dp[i][j] 表示以第 i 行第 j 列为右下角的矩形的最大高度。我们通过比较上方的矩形高度 dp[i-1][j] 和左方的矩形高度 dp[i][j-1]，取较小的一个，并加上 1，即得到 dp[i][j] 的值。

虽然动态规划解法行之有效，但它需要存储整个网格的动态规划表。这在空间复杂度上并不理想，尤其是当网格尺寸较大时。

为了优化空间复杂度，我们可以采用另一种被称为「柱状图最大矩形」的算法。这种算法将网格的每一行视为一个柱状图，然后利用「柱状图中最大矩形」算法来求解每一行的最大矩形面积。

「柱状图中最大矩形」算法的关键思想是使用栈来跟踪柱状图中的柱子高度。通过比较栈顶元素和当前元素的高度，我们可以计算出最大矩形面积。

「最大矩形」难题是一道经典的算法问题，它充分体现了算法之美。通过层层深入的剖析、巧妙的动态规划解法以及空间优化的优化策略，我们得以征服这道难题，领略算法思维的魅力。

纵观算法之旅，我们不仅锻炼了算法思维，更深刻地理解了算法的本质。算法是一门艺术，也是一门科学，它要求我们既有创造力，又具备严谨的逻辑思维。

算法的魅力在于它能将复杂的问题简化为可行的步骤，让我们得以解决现实世界中的难题。而「最大矩形」难题，只是算法海洋中的一滴水珠，等待着我们去探索和征服。