N 皇后——深度解析递归与位运算的博弈

后端

2023-10-29 18:31:01

N 皇后问题的定义与规则

N 皇后问题，顾名思义，是指在 N×N 的棋盘上摆放 N 个皇后，使得它们互不攻击。具体来说，这意味着满足以下规则：

同一行不能有两个皇后。
同一列不能有两个皇后。
同一斜线上不能有两个皇后。

探索递归法破解 N 皇后问题的奥秘

递归是一种强大的编程技术，它允许你将问题分解成更小的子问题，然后使用相同的解决方案来解决这些子问题。在 N 皇后问题中，我们可以使用递归来枚举所有可能的皇后摆放方案，并逐一检查它们是否满足上述规则。

以下是递归算法的步骤：

从第一行第一列开始搜索。
检查当前位置是否可以放置皇后。
如果可以，则放置皇后并继续搜索下一行。
如果不行，则尝试下一个位置。
重复步骤 2-4，直到找到一个可行的解决方案或穷举所有可能的情况。

def solve_n_queens(n):
  """
  使用递归算法求解 N 皇后问题。

  参数：
    n: 棋盘大小，即 N×N。

  返回：
    一个列表，其中包含所有可行的皇后摆放方案。
  """

  # 创建一个 N×N 的棋盘，并将其初始化为空。
  board = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

  # 调用递归函数来搜索所有可行的皇后摆放方案。
  solutions = []
  solve_n_queens_helper(board, 0, solutions)

  return solutions

def solve_n_queens_helper(board, row, solutions):
  """
  递归函数，用于搜索所有可行的皇后摆放方案。

  参数：
    board: N×N 的棋盘，其中 0 表示该位置没有皇后，1 表示该位置有皇后。
    row: 当前正在搜索的行。
    solutions: 一个列表，用于存储所有可行的皇后摆放方案。
  """

  # 如果当前行已经到达棋盘的底部，则说明已经找到一个可行的皇后摆放方案。
  if row == len(board):
    solutions.append(copy.deepcopy(board))
    return

  # 尝试在当前行的每一列放置皇后。
  for col in range(len(board)):
    # 如果当前位置可以放置皇后，则放置皇后并继续搜索下一行。
    if is_safe(board, row, col):
      board[row][col] = 1
      solve_n_queens_helper(board, row + 1, solutions)
      # 在回溯时，将当前位置的皇后移除。
      board[row][col] = 0

优化算法——如何利用位运算加速 N 皇后问题的求解

在 N 皇后问题中，我们可以使用位运算来优化算法。位运算是一种非常高效的运算方式，它可以大大减少算法的运行时间。

位运算可以用来检查当前位置是否可以放置皇后。我们可以使用以下位运算来检查：

检查当前行是否有皇后。
检查当前列是否有皇后。
检查当前的左斜线上是否有皇后。
检查当前的右斜线上是否有皇后。

def is_safe(board, row, col):
  """
  使用位运算检查当前位置是否可以放置皇后。

  参数：
    board: N×N 的棋盘，其中 0 表示该位置没有皇后，1 表示该位置有皇后。
    row: 当前正在搜索的行。
    col: 当前正在搜索的列。

  返回：
    如果当前位置可以放置皇后，则返回 True，否则返回 False。
  """

  # 检查当前行是否有皇后。
  for i in range(col):
    if board[row][i] == 1:
      return False

  # 检查当前列是否有皇后。
  for i in range(row):
    if board[i][col] == 1:
      return False

  # 检查当前的左斜线上是否有皇后。
  i, j = row, col
  while i >= 0 and j >= 0:
    if board[i][j] == 1:
      return False
    i -= 1
    j -= 1

  # 检查当前的右斜线上是否有皇后。
  i, j = row, col
  while i >= 0 and j < len(board):
    if board[i][j] == 1:
      return False
    i -= 1
    j += 1

  return True