探索时序分析：从线性模型到 GRACH 模型

引言

在这个时序分析系列的第三部分中，我们将深入探索线性模型，从经典的 AR(1) 模型到更复杂的 GRACH 模型。这些模型为深入了解和预测时间序列提供了强大的工具。

自回归模型 (AR)

自回归模型 (AR) 是一种线性模型，其中因变量可以由其自身的一个或多个滞后项表示。形式上，AR(p) 模型可以表示为：

Y_t = a_1 * Y_(t-1) + ... + a_p * Y_(t-p) + w_t

其中：

• Y_t 是时间 t 的因变量
• a_i 是模型的系数
• w_t 是白噪声项

平稳 AR(1) 模型的模拟

让我们模拟一个 AR(1) 过程，其中 a = 0：

import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.process import ArmaProcess

# 设定 a = 0
alpha = 0

# 模拟 AR(1) 过程
ar1 = ArmaProcess(ar=[alpha], order=(1, 0))
ar1_data = ar1.generate_sample(nsample=100)

# 绘制模拟数据
plt.plot(ar1_data)
plt.title('Simulated AR(1) Process with a = 0')
plt.show()

季节性自回归综合移动平均模型 (SARIMA)

对于具有季节性模式的时间序列，季节性自回归综合移动平均 (SARIMA) 模型是合适的。SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)s 模型的形式为：

(1 - B)^P (1 - B^s)^D Y_t = (1 - b_1 B - ... - b_p B^p) (1 - B^s - ... - B^s Q) a_t

其中：

• B 是后移算子，即 B^s Y_t = Y_(t-s)
• P、D、Q 是非季节性阶数
• p、d、q 是季节性阶数
• s 是季节周期

广义自回归条件异方差模型 (GARCH)

广义自回归条件异方差 (GARCH) 模型用于对时间序列中的条件方差进行建模。GARCH(p, q) 模型的形式为：

σ_t^2 = ω + a_1 σ_(t-1)^2 + ... + a_p σ_(t-p)^2 + b_1 ε_(t-1)^2 + ... + b_q ε_(t-q)^2

其中：

• σ_t^2 是时间 t 的条件方差
• ω 是常数项
• a_i、b_i 是模型的系数
• ε_t 是白噪声项

结论

线性模型为时序分析提供了基础，从简单的 AR 模型到复杂的 GARCH 模型。这些模型能够捕获时间序列中各种模式和动态特性，使其成为预测和了解时间序列的宝贵工具。在未来的文章中，我们将继续探索时序分析的更多高级技术。