勇破难关！掌握买卖股票的最佳时机 III：分段利润最大化

前情回顾：股票交易的最佳时机

在《买卖股票的最佳时机 I》和《买卖股票的最佳时机 II》中，我们分别探讨了在只能买入、卖出一次的条件下，如何获取最大利润以及在无限次交易的前提下如何实现利润最大化。这些问题为我们提供了重要的基础知识，有助于我们理解和解决《买卖股票的最佳时机 III》。

买入与卖出的艺术

《买卖股票的最佳时机 III》的主要目的是在最多只能买入两次的限制下，寻找最佳的买入和卖出时机，实现利润最大化。这与前两个问题有着本质的区别，因为它要求我们考虑交易的次数和交易的顺序。

状态转移方程：捕捉动态变化

为了解决《买卖股票的最佳时机 III》，我们需要借助动态规划的思想，构建状态转移方程。设 dp[i][k][0] 表示在第 i 天，最多交易 k 次，且目前持有股票的状态下的最大利润。设 dp[i][k][1] 表示在第 i 天，最多交易 k 次，且目前不持有股票的状态下的最大利润。

递推公式：揭示状态间的联系

有了状态转移方程，我们就可以通过递推的方式计算出最终的结果。具体来说，递推公式如下：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k-1][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])

滚动数组：节省空间，提高效率

为了优化空间复杂度，我们可以使用滚动数组的方式来保存中间结果。具体来说，我们可以将 dp[i-1] 和 dp[i] 两个数组合并成一个数组，然后通过循环来更新数组中的值。

实例详解：一步步走向最优解

为了更好地理解《买卖股票的最佳时机 III》，我们来看一个具体的例子。假设股票价格序列为 [3, 2, 6, 5, 0, 3]，且最多只能交易两次。

步一：初始化状态

首先，我们需要初始化 dp 数组。对于 dp[0][k][0] 和 dp[0][k][1]，我们都将其初始化为 0，因为在第一天，我们不可能持有股票或进行交易。

步二：计算动态规划表

然后，我们可以使用递推公式来计算动态规划表。具体来说，我们可以从 i = 1 开始循环，并在每次循环中计算 dp[i][k][0] 和 dp[i][k][1] 的值。

步三：找出最佳利润

最后，我们需要找到最佳利润。最佳利润就是 dp[n-1][k][0]，其中 n 是股票价格序列的长度，k 是最多交易的次数。

掌握技巧，笑傲股海

《买卖股票的最佳时机 III》是一道具有挑战性的问题，但只要我们掌握了动态规划的思想和递推公式的构造方法，就可以将其轻松解决。更重要的是，这一系列问题不仅考验了我们的编程能力，也磨练了我们对金融市场和投资策略的理解。希望大家都能在股票交易的世界中驰骋纵横，笑傲股海！