区间DP入门指南：用算法巧解合并石子难题

2023-12-08 09:29:08

区间DP：算法世界里的拼图游戏

在算法的世界里，区间DP（Dynamic Programming）是一种强大的技术，可以解决复杂问题。它像是一块块拼图，将问题分解成更小的子问题，再通过巧妙的组合，一步步找到全局最优解。

石子合并：区间DP的经典之作

区间DP在解决合并石子问题上大放异彩。问题是这样的：

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。 每堆石子有一定的质量，可以用一个数字来。现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的质量为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总质量也不相同。

如何合并石子，才能使总质量最小？这就是区间DP大显身手的时刻！

算法流程：步步为营

子问题分解： 将原问题分解为多个子问题。对于区间 [i, j]，它的最优解可以表示为：Merge_Cost(i, j)。
递推公式： 找出每个子问题与相邻子问题的联系。对于 [i, j]，它的最优解可以用相邻区间 [i, k] 和 [k+1, j] 的最优解之和，加上合并这两段区间所需的质量表示：Merge_Cost(i, j) = Merge_Cost(i, k) + Merge_Cost(k+1, j) + Sum(i, j)。其中，Sum(i, j) 表示区间 [i, j] 中所有石子的质量之和。
边界条件： 对于长度为 1 的区间，其最优解为 0。
自底向上： 从长度为 2 的区间开始，逐层递推，直到得到整个区间的最优解。

代码实现：算法之美

def merge_stones(stones):
    n = len(stones)
    # 前缀和数组
    prefix_sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + stones[i - 1]
    # 最优解表
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    # 区间长度
    for l in range(2, n + 1):
        # 区间的起始位置
        for i in range(0, n - l + 1):
            # 区间的结束位置
            j = i + l - 1
            # 寻找最优合并点
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + prefix_sum[j + 1] - prefix_sum[i])
    # 返回整个区间的最优解
    return dp[0][n - 1]

实例分析：拆解难题

现在，让我们用一个实例来具体了解区间DP是如何工作的。假设有 5 堆石子，其质量分别为 [3, 1, 4, 2, 3]。

**步 1：子问题分解** 

要找到最优解，我们需要求解所有可能合并石子的情况。对于区间 [1, 5]，我们可以将其分解为以下子问题：

[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]

**步 2：递推公式** 

对于子问题 [i, j]，其最优解可以表示为：

Merge_Cost(i, j) = min(Merge_Cost(i, k) + Merge_Cost(k+1, j) + Sum(i, j))，其中 1 ≤ k ≤ j-1

**步 3：计算最优解** 

通过递推公式，我们可以逐层计算出每个子问题的最优解。

| 子问题 | 合并成本 |
|---|---|
| [1, 2] | 4 |
| [2, 3] | 4 |
| [3, 4] | 6 |
| [4, 5] | 5 |
| [1, 5] | 18 |