LeetCode：完全平方数的探索之旅

2023-12-16 03:03:57

掌握完全平方数的计算技巧，踏上 LeetCode 挑战的胜利之路。在这个快速而全面的指南中，我们将探索一个高效的算法，帮助你征服这道编程难题。

各位编程爱好者，欢迎来到我们对 LeetCode 上备受推崇的「完全平方数」问题的深入探索之旅。为了让这项旅程更具启发性和实用性，我们将深入挖掘数学基础，同时提供一个巧妙的算法，让你在 LeetCode 的竞争中脱颖而出。

完全平方数，顾名思义，是指可以表示为某个整数的平方的数字。例如，4 是完全平方数，因为它是 2 的平方。理解完全平方数的关键在于：对于任何完全平方数 n，总存在一个正整数 k，使得 n = k^2。

对于 LeetCode 的「完全平方数」问题，我们的目标是找到一个正整数，使得其平方和为给定整数 n。动态规划算法的巧妙之处在于，它将问题分解为较小的子问题，逐一求解，最后逐步解决原问题。

具体而言，我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示表示数字 i 的最小完全平方数之和。然后，我们使用动态规划方程 dp[i] = min(dp[i - j^2] + 1) 逐步填充 dp 数组，其中 j 为从 1 到 i 的平方根的正整数。

为了更好地理解算法，让我们考虑一个示例。假设我们给定的整数 n 为 12。按照动态规划方程，我们可以得到：

dp[1] = dp[1 - 1^2] + 1 = 1
dp[2] = dp[2 - 1^2] + 1 = 1
dp[3] = dp[3 - 1^2] + 1 = 2
dp[4] = dp[4 - 1^2] + 1 = 1
dp[5] = dp[5 - 1^2] + 1 = 2
dp[6] = min(dp[6 - 1^2] + 1, dp[6 - 2^2] + 1) = min(2, 2) = 2
...
dp[12] = min(dp[12 - 1^2] + 1, dp[12 - 2^2] + 1, dp[12 - 3^2] + 1) = min(3, 2, 3) = 2

因此，对于 n = 12，表示其的最小完全平方数之和为 2，可以由 4 和 4 这两个完全平方数相加得到。