最小生成树（MST）算法学习

后端

2023-12-07 10:58:08

最小生成树（MST）

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是指给定一个无向图，在所有可能的生成树中，权值和最小的生成树。

最小生成树在许多领域都有应用，例如网络通信、电路设计和物流配送等。

最小生成树算法

求解最小生成树的算法有很多，其中最经典的是克鲁斯卡尔算法和普里姆算法。

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法是一种贪心算法，它从权值最小的边开始，逐步将边添加到生成树中，直到生成树包含所有顶点。

克鲁斯卡尔算法的具体步骤如下：

将图中的所有边按照权值从小到大排序。
从权值最小的边开始，将其添加到生成树中。
如果添加的边与生成树中已有的边形成环，则跳过该边。
重复步骤 2 和 3，直到生成树包含所有顶点。

普里姆算法

普里姆算法也是一种贪心算法，它从一个顶点出发，逐步将相邻的边添加到生成树中，直到生成树包含所有顶点。

普里姆算法的具体步骤如下：

选择一个顶点作为起点，将其添加到生成树中。
从生成树中选择一个顶点，找到与该顶点相邻且权值最小的边，将其添加到生成树中。
如果添加的边与生成树中已有的边形成环，则跳过该边。
重复步骤 2 和 3，直到生成树包含所有顶点。

洛谷 P3366 题目解析

洛谷 P3366 题目给定一个无向图，要求求出它的最小生成树。

我们可以使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法来求解该题目。

以下是使用克鲁斯卡尔算法求解该题目的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Edge {
  int u, v, w;
};

bool cmp(const Edge& a, const Edge& b) {
  return a.w < b.w;
}

class DisjointSet {
public:
  DisjointSet(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      parent[i] = i;
      rank[i] = 0;
    }
  }

  int find(int x) {
    if (parent[x] != x) {
      parent[x] = find(parent[x]);
    }
    return parent[x];
  }

  void union(int x, int y) {
    int px = find(x);
    int py = find(y);
    if (px == py) {
      return;
    }
    if (rank[px] < rank[py]) {
      parent[px] = py;
    } else if (rank[px] > rank[py]) {
      parent[py] = px;
    } else {
      parent[py] = px;
      rank[px]++;
    }
  }

private:
  vector<int> parent;
  vector<int> rank;
};

int main() {
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  vector<Edge> edges;
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    int u, v, w;
    cin >> u >> v >> w;
    edges.push_back({u, v, w});
  }
  sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);
  DisjointSet ds(n);
  int mst = 0;
  for (auto& edge : edges) {
    int px = ds.find(edge.u);
    int py = ds.find(edge.v);
    if (px != py) {
      ds.union(px, py);
      mst += edge.w;
    }
  }
  cout << mst << endl;
  return 0;
}