解密剑指Offer 16：数值的整数次方，探索快速幂的奥秘

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2024-02-18 04:21:34

快速幂算法：深入剖析数值整数次方的秘密

在算法的世界中，快速幂算法 无疑是颗璀璨的明珠，以其卓越的效率和广泛的应用，备受算法设计者的青睐。如果你也渴望征服这道难题，掌握快速幂算法的精髓，那么这篇深入剖析将为你指引方向。

理解问题

快速幂算法旨在解决一个看似简单的问题：给定一个浮点数 base 和一个整数 exponent，求出 base 的 exponent 次方。看似平凡，但要求不得使用库函数，也不考虑大数问题，着实考验着算法设计者的智慧。

朴素算法：直截了当但效率欠佳

最直观的做法是采用朴素算法，即采用递归的方式，逐次递减 exponent，直到为 0 为止。这种方法虽然简单明了，但时间复杂度高达 O(exponent)，随着 exponent 的增大，计算效率急剧下降。

快速幂算法：巧用二进制，效率倍增

快速幂算法巧妙地利用了指数的二进制表示，大幅提升了计算效率。算法的精髓在于将 exponent 分解成二进制数列，只计算 exponent 为 1 的位对应的幂次，然后将结果相乘即可。

以下示例演示了如何计算 base^10：

exponent (10) = 1010 (二进制)

base^10 = base^(1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0)
= base^8 * base^2 * base^1

通过这种方式，快速幂算法的时间复杂度降至 O(log(exponent))，效率显著提升。

代码实现：分治递归，简洁优雅

def fast_pow(base, exponent):
  """
  快速幂算法，计算 base 的 exponent 次方。

  参数：
    base: 底数
    exponent: 指数

  返回：
    base 的 exponent 次方
  """
  # 指数为 0，直接返回 1
  if exponent == 0:
    return 1

  # 指数为负数，返回 1/base 的 exponent 次方
  if exponent < 0:
    return 1 / fast_pow(base, -exponent)

  # 指数为奇数，返回 base 的 exponent-1 次方乘以 base
  if exponent % 2 == 1:
    return fast_pow(base, exponent - 1) * base

  # 指数为偶数，返回 base 的 exponent/2 次方乘以自身
  else:
    return fast_pow(base, exponent // 2) * fast_pow(base, exponent // 2)