解密三角形世界的奥秘：有效三角形计数的数学探寻

在数学王国的几何领域中，三角形一直占据着举足轻重的地位。从孩提时代的启蒙到高等数学的殿堂，三角形的魅力无处不在。在浩瀚的三角形家族中，有效三角形是一个备受瞩目的子集。顾名思义，有效三角形是指能够组成一个稳定结构的三条线段。

要判断三条线段能否组成有效三角形，需要满足一个重要的数学定理：如果这三条线段中任意两条的和都大于第三条线段，则它们可以组成一个三角形。换句话说，对于给定的三条线段 a、b 和 c，如果 a + b > c、a + c > b 且 b + c > a，那么这三条线段可以构成一个三角形。

基于这个数学定理，我们可以设计一个算法来计算给定线段集合中有效三角形的数量。以下步骤概述了算法的基本原理：

1. 对线段集合进行预处理： 首先，按照线段长度对集合中的线段进行升序排序。这个步骤将帮助我们快速排除一些不满足三角形定理的线段组合。
2. 遍历排序后的线段集合： 对于每个线段 a，我们用两个指针 b 和 c 从排序后的集合中查找 b 和 c，使得 a + b > c、a + c > b 且 b + c > a。如果找到这样的 b 和 c，则 a、b 和 c 组成一个有效三角形。
3. 计数有效三角形： 每当我们找到一个有效三角形，我们就将计数器加 1。

为了优化算法的性能，我们可以使用一些额外的技术，例如二分查找和剪枝策略。通过结合这些优化，我们可以大幅提高算法的效率，使其能够处理大型线段集合。

下面是一个 Python 代码示例，展示了如何实现上述算法：

def count_valid_triangles(segments):
  """
  计算给定线段集合中有效三角形的数量。

  参数：
    segments：给定的线段集合。

  返回：
    有效三角形的数量。
  """

  # 对线段集合进行预处理
  segments.sort()

  # 计数器
  count = 0

  # 遍历排序后的线段集合
  for i in range(len(segments)):
    # 用两个指针查找 b 和 c
    left, right = i + 1, len(segments) - 1

    while left < right:
      a, b, c = segments[i], segments[left], segments[right]

      # 检查是否满足三角形定理
      if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
        count += 1
        left += 1

      # 剪枝
      else:
        right -= 1

  # 返回有效三角形的数量
  return count

利用这个算法，我们可以轻松解决 LeetCode 611 难题，该难题要求我们计算给定线段集合中有效三角形的数量。通过将上述算法应用于示例输入 [2, 2, 3, 4]，我们可以得到结果 3，因为有三个有效三角形可以由这些线段组成。

总而言之，理解有效三角形的概念并掌握相应的算法对于解决几何和算法问题至关重要。本文通过深入探索三角形定理和算法优化，为读者提供了破解三角形计数之谜的强大工具。掌握这些知识，您将踏上几何探索的奇妙旅程，并对数学的奥秘有更深刻的理解。