巧用记忆化搜索，优化求解配对次数问题

闲谈

2023-11-12 15:54:48

引言：解析题目要求

LeetCode 1688题要求我们计算一场比赛中配对的次数。比赛中，每个选手都有一个唯一的编号，编号从1到n。如果两个选手的编号之差是k，那么他们将被配对。

例如，如果n=5且k=2，那么配对情况如下：

(1,3)
(2,4)
(3,5)

因此，配对次数为3。

记忆化搜索：优化求解之道

为了高效解决此类问题，我们可以使用一种名为记忆化搜索的动态规划技术。记忆化搜索的核心思想是将子问题的解决方案存储起来，以便在以后需要时可以直接使用，从而避免重复计算。

具体而言，对于本题，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中i和j分别代表选手的编号。dp[i][j]的值表示编号为i和j的两个选手配对的次数。

我们可以使用如下的递归关系来计算dp[i][j]：

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1]

其中，dp[i+1][j]表示编号为i+1和j的两个选手配对的次数，dp[i][j-1]表示编号为i和j-1的两个选手配对的次数。

但是，这种朴素的递归算法可能会导致大量的重复计算。为了优化算法，我们可以使用记忆化搜索。具体而言，我们可以使用一个哈希表来存储已经计算过的子问题的解决方案。当我们再次需要计算同一个子问题时，我们可以直接从哈希表中获取结果，而无需重新计算。

示例代码：清晰易懂的实现

def num_pairs(n, k):
  """
  计算比赛中配对的次数。

  Args:
    n: 选手数量。
    k: 配对差值。

  Returns:
    配对次数。
  """

  # 创建哈希表来存储已经计算过的子问题的解决方案。
  memo = {}

  def dp(i, j):
    """
    计算编号为i和j的两个选手配对的次数。

    Args:
      i: 选手编号。
      j: 选手编号。

    Returns:
      配对次数。
    """

    # 检查是否已经计算过该子问题。
    if (i, j) in memo:
      return memo[(i, j)]

    # 计算该子问题的解决方案。
    if i > j:
      result = 0
    elif i == j:
      result = 1
    else:
      result = dp(i+1, j) + dp(i, j-1)

    # 将该子问题的解决方案存储在哈希表中。
    memo[(i, j)] = result

    return result

  # 计算配对次数。
  return dp(1, n)


# 测试代码。
n = 5
k = 2
result = num_pairs(n, k)
print(result)  # 输出：3