从小白到高手，LeetCode 64 题详解：最小路径问题（动态规划入门）

2023-12-19 04:08:03

引言

在计算机科学领域，动态规划是一种常用的算法设计范式，它适用于求解具有重叠子问题和最优子结构的优化问题。在 LeetCode 64 题中，我们面临一个经典的最小路径问题，需要在包含非负整数的网格中找到从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

解题思路

动态规划的思想在于将大问题分解为一系列较小的子问题，并通过逐步求解子问题来获得最终答案。在最小路径问题中，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角到 (i, j) 位置的最小路径总和。

根据动态规划的原则，我们可以使用以下递推公式来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

其中，grid[i][j] 是网格中 (i, j) 位置的数字。

代码实现

def min_path_sum(grid):
  """
  计算从左上角到右下角的最小路径总和。

  参数：
    grid: 包含非负整数的 m x n 网格。

  返回：
    最小路径总和。
  """

  m, n = len(grid), len(grid[0])
  dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]

  # 初始化第一行和第一列
  for i in range(m):
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
  for j in range(n):
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

  # 计算其余位置的最小路径总和
  for i in range(1, m):
    for j in range(1, n):
      dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

  # 返回右下角的最小路径总和
  return dp[m-1][n-1]