从《初级算法》的动态规划之爬楼梯看算法的内在之美

2023-12-28 04:39:19

动态规划的内在之美

动态规划是一种解决优化问题的强大方法，它将问题分解成更小的子问题，然后逐一求解这些子问题，最终将子问题的解组合起来得到原问题的解。动态规划之所以被称为“动态”，是因为它允许我们在求解子问题的过程中不断更新信息，从而提高算法的效率。动态规划还具有“规划”的特点，因为它要求我们在求解子问题之前对它们进行仔细的分析和规划，以便找到最优的解。

动态规划算法的内在之美在于它能够将复杂的问题分解成更小的、更易于管理的子问题，然后通过逐一求解这些子问题来得到原问题的解。这种分解问题的方法可以大大降低算法的时间复杂度，并使算法更容易理解和实现。

动态规划之爬楼梯问题

爬楼梯问题是一个经典的动态规划问题。问题如下：假设你正在爬楼梯，每次你可以爬一个台阶或两个台阶。给你一个楼梯的总台阶数，请你计算有多少种不同的方法可以爬到楼梯的顶部。

例如，如果楼梯有 4 个台阶，那么你共有 5 种不同的方法可以爬到楼梯的顶部：

1 个台阶 + 1 个台阶 + 1 个台阶 + 1 个台阶
1 个台阶 + 2 个台阶 + 1 个台阶
2 个台阶 + 1 个台阶 + 1 个台阶
2 个台阶 + 2 个台阶
1 个台阶 + 3 个台阶

解题思路

爬楼梯问题的动态规划解法是基于这样一个事实：到达楼梯顶部的总方法数等于到达楼梯倒数第二级台阶的方法数加上到达楼梯倒数第三级台阶的方法数。换句话说，到达楼梯第 i 级台阶的方法数等于到达楼梯第 i-1 级台阶的方法数加上到达楼梯第 i-2 级台阶的方法数。

我们可以使用一个数组 dp 来存储到达楼梯第 i 级台阶的方法数。我们首先将 dp[0] 和 dp[1] 分别设为 1，因为到达楼梯第 0 级台阶只有一种方法（不爬楼梯），到达楼梯第 1 级台阶只有一种方法（爬 1 个台阶）。然后，我们可以使用以下递推关系来计算到达楼梯第 i 级台阶的方法数：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

代码实现

function climbStairs(n) {
  if (n <= 2) {
    return n;
  }

  const dp = new Array(n + 1).fill(0);
  dp[0] = 1;
  dp[1] = 2;

  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
  }

  return dp[n];
}