利用绳子的覆盖最大化：求解X轴上点数覆盖问题

前端

2023-10-06 02:52:34

优化资源分配：如何让一根绳子覆盖最多的点

引言

在日常生活中，我们经常需要在有限的资源下做出最佳分配。本文将探讨一个常见的优化问题：给定一根长度为 k 的绳子，如何将其放置在一根直线上，以覆盖最多的点？

问题分析

假设我们有一个有序数组 arr，其中 arr[i] 表示直线上第 i 个点的坐标。绳子的长度为 k，我们的目标是找到一种绳子放置方案，使得最多数量的点被绳子覆盖。绳子的边缘点碰到直线上的点，也算盖住。

例如，如果绳子的长度为 4，并且 arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，那么我们可以将绳子放置在 [2, 6] 区间，这样可以覆盖 5 个点（2, 3, 4, 5, 6）。

贪心算法

为了解决这个问题，我们可以采用一种贪心算法。贪心算法是一种在每个步骤中做出局部最优决策，最终导致全局最优解的算法。

我们的贪心算法如下：

初始化一个滑动窗口，窗口大小为 k。
将滑动窗口放置在 arr 的第一个点上。
沿 arr 移动滑动窗口，每次移动一个单位。
在每次移动中，计算滑动窗口内覆盖的点数。
更新覆盖点数的最大值，以及覆盖点数最大的滑动窗口位置。
重复步骤 3-5，直到滑动窗口到达 arr 的最后一个点。

滑动窗口优化

为了优化算法，我们使用了一个滑动窗口。滑动窗口允许我们快速更新覆盖的点数，而无需重新计算整个 arr。

滑动窗口的优化体现在以下两点：

当滑动窗口向右移动一个单位时，窗口左边的点移出窗口，窗口右边的点移入窗口。因此，我们只需要计算新进入窗口的点的贡献，以及退出窗口的点的损失，即可得到新的覆盖点数。
我们使用一个前缀和数组，存储从 arr[0] 到 arr[i] 所有点的和。这样，我们可以通过 O(1) 时间复杂度快速计算滑动窗口内点的和。

算法实现

以下是算法的 Python 实现：

def max_covered_points(arr, k):
    # 初始化滑动窗口大小和最大覆盖点数
    window_size = k
    max_covered = 0

    # 初始化滑动窗口和前缀和数组
    window = sum(arr[:window_size])
    prefix_sums = [0] + list(itertools.accumulate(arr))

    # 滑动窗口遍历数组
    for i in range(window_size, len(arr)):
        # 更新滑动窗口
        window += arr[i] - arr[i - window_size]

        # 更新最大覆盖点数
        max_covered = max(max_covered, window)

    # 返回最大覆盖点数
    return max_covered