色子求和问题：使用备忘录优化动态规划

python

2024-03-10 15:39:45

使用备忘录优化色子求和问题

引言

各位读者，欢迎来到我们的技术博客！今天，我们将深入研究一个经典的动态规划问题——色子求和问题，并展示如何通过使用备忘录技术优化其解决方法。

问题

色子求和问题是这样的：给定 w 个面值为 1-6 的色子，求和为 S 的不同掷法数量。例如，Amount(2, 7) = 6，表示掷 2 个色子，和为 7 的不同掷法数量。

递归算法

我们首先编写一个简单的递归算法来解决这个问题：

def Amount(w, S):
    amount = 0
    if w == 0 and S == 0:
        amount = 1
    elif w == 0 and S > 0:
        amount = 0
    elif S < 0:
        amount = 0
    else:
        for number in range(1, 7):
            subproblem = S - number
            amount = amount + Amount(w - 1, subproblem)
    return amount

虽然这个算法可以解决问题，但它的效率很低。优化算法的关键是使用备忘录（memoization）技术。备忘录是一个二维数组，用于存储已经计算过的子问题结果。

错误分析

我们在升级代码时，在创建备忘录时遇到了一个错误：

memo = [[-1] * (S+1)] * (w+1) #create a 2-D array large enough to store the data (default = -1)

这个代码创建了一个引用相同列表的二维数组。这意味着对其中任何一个元素的修改都会影响其他所有元素。因此，当我们试图在备忘录中存储结果时，它会覆盖所有其他元素。

优化算法

正确的代码应该创建独立的列表：

memo = [[-1] * (S + 1) for _ in range(w + 1)]  # create a 2-D array large enough to store the data (default = -1)

现在，让我们使用备忘录优化算法：

创建备忘录： 创建一个二维数组 memo，用于存储已经计算过的子问题结果。
检查备忘录： 在计算子问题之前，检查 memo 中是否已经存储了该结果。如果已经存储，则直接返回该结果。
计算结果： 如果子问题结果尚未存储，则使用递归调用计算结果并将其存储在 memo 中。
返回结果： 返回计算的结果。

优化代码

def AmountOptimized(w, S):
    amount = 0

    # Check if the value has already been calculated
    if memo[w][S] != -1:
        return memo[w][S]

    # Base cases
    if w == 0 and S == 0:
        amount = 1
    elif w == 0 and S > 0:
        amount = 0
    elif S < 0:
        amount = 0
    else:
        # Calculate the value
        for number in range(1, 7):
            subproblem = S - number
            amount = amount + AmountOptimized(w - 1, subproblem)

    # Store the value in the memo
    memo[w][S] = amount

    return amount