按位或最大值子集计数：深入算法分析与实现

前端

2023-09-11 21:56:08

在计算机科学中，按位运算符在处理二进制数据方面发挥着至关重要的作用。而按位或运算，又称为二进制加法，是其中最常用的运算符之一。本篇文章将探讨一道与按位或运算相关的算法难题：统计按位或能得到最大值的子集数目。

问题陈述

给定一个长度为 n 的数组 nums，其中每个元素 nums[i] 是一个非负整数。我们定义一个子集 S 为数组 nums 的一个非空子集。对于一个给定的子集 S，其按位或值定义为 S 中所有元素按位或运算的结果。

求有多少个子集的按位或值等于 nums 中所有元素按位或运算的结果。换句话说，统计按位或能得到最大值的子集数目。

深入剖析

为了解决这个问题，我们需要仔细分析按位或运算的性质。按位或运算具有以下两个关键性质：

结合律： (A | B) | C = A | (B | C)
幂等律： A | A = A

基于这两个性质，我们可以得出以下推论：

任何子集的按位或值一定小于或等于数组 nums 中所有元素按位或运算的结果。
如果一个元素 x 已经被包含在子集中，那么再次将 x 添加到子集中不会改变子集的按位或值。

DFS 算法

利用上述推论，我们可以设计一个基于深度优先搜索 (DFS) 的算法来解决这个问题。DFS 算法从一个初始状态开始，并通过不断探索其所有可能的后继状态来搜索解决方案。

def count_max_or_subsets(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """

    def dfs(index, current_or):
        # 递归基线：遍历完所有元素
        if index == len(nums):
            if current_or == max_or:
                return 1
            else:
                return 0

        # 考虑当前元素是否加入子集
        count = dfs(index + 1, current_or | nums[index])
        count += dfs(index + 1, current_or)

        return count

    max_or = 0
    for num in nums:
        max_or |= num

    return dfs(0, 0)

该算法的复杂度分析如下：

时间复杂度：O(2^n)，其中 n 是数组 nums 的长度。DFS 算法需要遍历所有可能的子集，因此其时间复杂度为指数级的。
空间复杂度：O(n)，DFS 算法的递归调用栈深度不会超过 n，因此其空间复杂度为线性的。

优化

在某些情况下，我们可以优化 DFS 算法以减少其时间复杂度。一种优化方法是使用记忆化。记忆化是一种技术，它将已经计算过的结果存储在表中，以便以后可以快速查阅。

def count_max_or_subsets_optimized(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """

    def dfs(index, current_or):
        if (index, current_or) in memo:
            return memo[(index, current_or)]

        # 递归基线：遍历完所有元素
        if index == len(nums):
            if current_or == max_or:
                return 1
            else:
                return 0

        # 考虑当前元素是否加入子集
        count = dfs(index + 1, current_or | nums[index])
        count += dfs(index + 1, current_or)

        memo[(index, current_or)] = count

        return count

    max_or = 0
    for num in nums:
        max_or |= num

    memo = {}
    return dfs(0, 0)