在二维数组中高效查找缺失数字：算法探秘

## 问题概述

在一个 n * m 的二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。给定一个目标数字，如何高效地找到它在数组中的位置，或者确定它不在数组中？

## 二分查找法

二分查找法是一种经典的搜索算法，它适用于有序数组。其基本思想是将数组划分为两半，然后根据目标数字的大小来确定哪一半可能包含目标数字。如此反复，直到找到目标数字或确定它不在数组中。

在二维数组中使用二分查找法，需要将数组看作一个一维数组，然后将其划分为两半。由于数组是按照行和列递增排序的，因此我们可以通过计算行和列的中间值来划分数组。

def binary_search(array, target):
# 将数组看作一维数组
flat_array = [item for row in array for item in row]

# 计算数组长度
length = len(flat_array)

# 循环进行二分查找
while length > 0:
    # 计算中间索引
    mid = length // 2

    # 获取中间值
    mid_value = flat_array[mid]

    # 如果中间值等于目标值，则返回中间索引
    if mid_value == target:
        return mid

    # 如果中间值小于目标值，则在右半部分继续查找
    elif mid_value < target:
        flat_array = flat_array[mid + 1:]
        length = length - mid - 1

    # 如果中间值大于目标值，则在左半部分继续查找
    else:
        flat_array = flat_array[:mid]
        length = mid

# 如果没有找到目标值，则返回-1
return -1

## 动态规划法

动态规划法是一种自底向上的算法，它适用于求解具有重叠子问题的优化问题。在二维数组中查找缺失数字的问题也可以使用动态规划法来求解。

动态规划法的基本思想是将问题分解成若干个子问题，然后从最简单的子问题开始解决，逐步解决更复杂的问题。在二维数组中查找缺失数字的问题中，我们可以将问题分解成以下几个子问题：

1. 在第一行中查找目标数字
2. 在第一列中查找目标数字
3. 在剩余的子数组中查找目标数字

def dynamic_programming(array, target):
# 初始化动态规划表
dp = [[False for _ in range(len(array[0]))] for _ in range(len(array))]

# 在第一行和第一列中查找目标数字
for i in range(len(array)):
    dp[i][0] = array[i][0] == target
for j in range(len(array[0])):
    dp[0][j] = array[0][j] == target

# 在剩余的子数组中查找目标数字
for i in range(1, len(array)):
    for j in range(1, len(array[0])):
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i][j - 1] or array[i][j] == target

# 返回结果
return dp[-1][-1]

## 算法比较

二分查找法和动态规划法都是用于在二维数组中查找缺失数字的有效算法。然而，这两种算法在时间复杂度和空间复杂度方面有所不同。

二分查找法的时间复杂度为 O(log(n * m))，其中 n 和 m 分别是二维数组的行数和列数。这是因为二分查找法每次将数组划分为两半，因此需要对数组进行 log(n * m) 次操作才能找到目标数字或确定它不在数组中。

动态规划法的