从刷题中体悟数学的优雅：破解“快乐数”的奥秘

在这个快节奏的数字化时代，编程已成为我们生活中不可或缺的一部分。从日常任务的自动化到解决复杂的问题，代码的力量无处不在。而 LeetCode 上的「刷题」热潮更是吸引了无数程序员的参与，其中一道备受关注的题目便是「快乐数」。

今天，我们就将踏上「刷题」之旅，深入探究这道题目的巧妙之处，领略数学在算法世界中的优雅魅力。

什么是「快乐数」？

简单来说，「快乐数」是指这样一个正整数：

• 从该数开始，不断计算其各位数字平方和的和。
• 如果最终结果为 1，则该数为「快乐数」。
• 如果在计算过程中出现循环，则该数不是「快乐数」。

破解「快乐数」的数学奥秘

要破解「快乐数」的奥秘，我们需要理解一个关键的数学定理：

四平方和定理： 任何一个正整数都可以表示为至多四个平方数的和。

基于此定理，我们可以推导出：

• 任何一个大于或等于 3 的平方数，其各位数字平方和的和必定大于等于 10。
• 因此，对于一个「快乐数」，在其计算过程中必定会出现一个小于 10 的数字。

算法实现

有了数学基础，我们就可以设计一个算法来判断一个数是否为「快乐数」：

1. 初始化： 将给定的正整数保存到一个变量 num 中。
2. 循环：
   • 计算 num 各位数字平方和的和，并将其保存到变量 sum 中。
   • 如果 sum 等于 1，则 num 是「快乐数」，返回 true。
   • 如果 sum 小于 10，则 num 不是「快乐数」，返回 false。
   • 否则，将 sum 重新赋值给 num，继续执行第 2 步。
3. 退出循环： 如果在执行循环过程中遇到循环（即 num 在循环中重复出现），则 num 不是「快乐数」，返回 false。

示例代码（Python）：

def is_happy(num):
    """
    判断一个数是否为「快乐数」。

    :param num: 给定的正整数
    :return: 如果是「快乐数」返回 True，否则返回 False
    """
    # 创建一个集合来存储已经出现的数字，以检测循环
    seen = set()

    while num != 1:
        # 计算各位数字平方和的和
        sum = 0
        while num > 0:
            digit = num % 10
            sum += digit * digit
            num //= 10

        # 如果 sum 已经出现过，则出现循环，不是「快乐数」
        if sum in seen:
            return False

        # 将 sum 添加到集合中
        seen.add(sum)

        # 将 sum 赋值给 num，继续计算
        num = sum

    return True

结语

通过对「快乐数」题目的探索，我们领略了数学和算法相结合的魅力。这道题目看似简单，却蕴含着深刻的数学原理。掌握了「快乐数」的精髓，不仅有助于提升我们的编程技能，还能激发我们对数学的兴趣。