算法打卡: LeetCode 20210406 - 一探汉诺塔问题的奥秘

引子

传说在印度贝拿勒斯城中，一座神庙里供奉着三根金刚石柱，柱子上自下而上套着 64 片黄金圆盘。婆罗门教的僧侣们必须按照神谕，将圆盘从一根柱子移到另一根柱子上，而且每次只能移动一个圆盘，并且不能将较大的圆盘放在较小的圆盘上。

这个古老的问题激发了无数数学家和计算机科学家的兴趣，他们提出了各种各样的解决方案，其中最著名的当属递归算法和动态规划算法。在这篇文章中，我们将深入探讨这两个算法，并用代码的形式实现它们，以便您能够轻松理解并应用到实际问题中。

汉诺塔问题剖析

汉诺塔问题是一个经典的递归问题，它可以用递归算法非常优雅地解决。递归算法的核心思想是将问题分解为更小的子问题，然后递归地求解这些子问题，最后将子问题的解组合起来得到原问题的解。

递归算法

def hanoi(n, source, destination, auxiliary):
    if n == 1:
        print(f"Move disk 1 from {source} to {destination}")
        return
    hanoi(n - 1, source, auxiliary, destination)
    print(f"Move disk {n} from {source} to {destination}")
    hanoi(n - 1, auxiliary, destination, source)

hanoi(3, "A", "C", "B")

动态规划算法

动态规划算法是一种自底向上的求解方法，它将问题分解为一系列重叠的子问题，然后从最简单的子问题开始，逐步求解更复杂的子问题，直到最终解决原问题。

def hanoi_dp(n, source, destination, auxiliary):
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = 1

    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]

    return dp[n][n]

print(hanoi_dp(3, "A", "C", "B"))

算法复杂度分析

递归算法的时间复杂度是 O(2^n)，其中 n 是圆盘的数量。动态规划算法的时间复杂度是 O(n^2)，其中 n 是圆盘的数量。

结语

汉诺塔问题是一个经典的算法问题，它不仅具有理论上的意义，而且在实际生活中也有广泛的应用，例如在计算机图形学、机器人学和运筹学等领域。通过学习和理解汉诺塔问题及其求解方案，您将对递归算法和动态规划算法有更深刻的理解，并能够将这些算法应用到实际问题中去。