利用 FT-CS 方法求解扩散方程：Python 代码和常见问题解答

python

2024-03-08 03:29:05

利用 FT-CS 方法精确求解扩散方程

导言

在科学建模和工程应用中，扩散方程是一个重要的偏微分方程，用来物质在空间和时间上的扩散过程。求解扩散方程对于理解和预测各种现象至关重要，如热传导、质量传输和流体力学。

本文重点介绍利用显式有限差分 (FT-CS) 方法用 Python 编写扩散方程求解器的全面指南。FT-CS 方法是一种显式时间积分方法，简单易用，适用于求解一维和二维扩散方程。

FT-CS 方法概览

FT-CS 方法通过将偏微分方程离散化为有限差分方程，将连续问题转换为代数问题。这种离散化过程涉及将导数用中心差分格式逼近，并使用时间步长来推进解。

对于二维扩散方程，FT-CS 方法的更新公式如下：

T(i, j, t + dt) = T(i, j, t) + (α * dt / dx²) * (T(i+1, j, t) - 2*T(i, j, t) + T(i-1, j, t)) + (α * dt / dy²) * (T(i, j+1, t) - 2*T(i, j, t) + T(i, j-1, t))

其中：

T(i, j, t) 表示网格点 (i, j) 在时间 t 的温度
α 是扩散系数
dx 和 dy 是网格间距
dt 是时间步长

Python 代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 网格尺寸
nx = 200
ny = 200
dx = 2 / (nx - 1)
dy = 2 / (ny - 1)

# 时间步长
nt = 50
alpha = 1
dt = 0.001

# 初始化
T = np.ones((nx, ny))  # 温度矩阵
x = np.linspace(0, 2, nx)  # X 坐标
y = np.linspace(0, 2, ny)  # Y 坐标

# 边界条件
T[0, :] = 20  # 左边界
T[-1, :] = -100  # 右边界
T[:, 0] = 150  # 下边界
T[:, -1] = 100  # 上边界

# 求解器
for n in range(nt + 1):
    Tn = T.copy()

    # 更新内部网格点的温度
    T[1:-1, 1:-1] = (Tn[1:-1, 1:-1] +
                       (alpha * dt / dx**2) *
                       (Tn[1:-1, 2:] - 2 * Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[1:-1, 0:-2]) +
                       (alpha * dt / dy**2) *
                       (Tn[2:, 1: -1] - 2 * Tn[1:-1, 1:-1] + Tn[0:-2, 1:-1]))

    # 更新边界条件
    T[0, :] = 20  # 左边界
    T[-1, :] = -100  # 右边界
    T[:, 0] = 150  # 下边界
    T[:, -1] = 100  # 上边界

# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 7), dpi=100)
ax.contourf(X, Y, T, cmap='jet')  # 等值线图
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_title('温度分布')
plt.colorbar()
plt.show()