C++ 求素数：最全面总结，畅通算法之路

后端

2024-01-08 00:59:09

C++ 中的素数算法：试除法、埃氏筛法和欧拉筛法

在计算机编程中，素数的生成和判断是常见的问题，在密码学、信息安全和科学计算等领域有着广泛的应用。本文将深入探索 C++ 中的三种常用素数算法：试除法、埃氏筛法和欧拉筛法，帮助你理解它们的原理、优缺点和适用场景。

1. 试除法：逐个检查的朴素方法

试除法是一种最直接的素数求解算法。它的基本思想是逐个检查自然数，判断它们是否符合素数的定义：除了 1 和本身外，没有其他因数。

算法步骤：

从 2 开始遍历自然数。
对于每个数 n，从 2 到 n 的平方根，检查 n 是否被这些数整除。
如果 n 没有任何因数，则它是素数。

试除法虽然简单易懂，但效率较低。对于较大的自然数，它需要花费大量的时间和计算资源。

2. 埃氏筛法：筛除非素数

埃氏筛法是一种著名的素数算法，由古希腊数学家埃拉托色尼发明。它通过将自然数从小到大排列成一个筛子，然后逐个筛掉非素数来实现。

算法步骤：

创建一个布尔数组，每个元素代表一个自然数。
从 2 开始，将每个数的倍数标记为非素数。
找到下一个未标记的数 n，将其标记为素数。
重复步骤 3，直到遍历完所有自然数。

埃氏筛法的效率比试除法高得多，因为它只需要遍历每个数一次，而试除法需要遍历每个数多次。

3. 欧拉筛法：利用欧拉函数优化

欧拉筛法是埃氏筛法的改进版，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明。它利用欧拉函数来优化筛除过程，进一步提高效率。

算法步骤：

创建一个布尔数组和一个欧拉函数数组。
从 2 开始，将每个数的倍数标记为非素数。
对于每个素数 p，更新其倍数的欧拉函数。
找到下一个未标记的数 n，将其标记为素数。
重复步骤 3 和 4，直到遍历完所有自然数。

欧拉筛法的效率最高，因为它利用了欧拉函数的性质，避免了重复计算。

代码示例

试除法：

bool isPrime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

埃氏筛法：

bool isPrime[MAX_SIZE];

void sieveOfEratosthenes(int n) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
}

欧拉筛法：

bool isPrime[MAX_SIZE];
int phi[MAX_SIZE];

void sieveOfEuler(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        isPrime[i] = true;
        phi[i] = i - 1;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
                phi[j] = phi[j] * (i - 1) / i;
            }
        }
    }
}