前缀和——数据结构与算法基础必备

2023-09-20 19:39:08

关于前缀和的一切

前缀和作为一项巧妙的算法，深受技术面试考官的青睐。所谓的“前缀和”，是算法题的常用テクニック之一。作为一种快速求和的技术，前缀和可以帮助我们迅速求出某个区间内的和。

假设您有如下代码：

nums=[1, 2, 3, 4, 5]

for i in range(len(nums)):
    for j in range(i, len(nums)):
        prefix_sum += nums[j]

若是您能以时间线为轴，依次观察prefix_sum的动态变化，就会发现，在每一次计算prefix_sum的时候，它都会在当前的位置累加相邻的值。如此，prefix_sum就记录了nums中所有值的前缀和信息。

前缀和提供了一套优越的解题思路和执行方法，能够优化我们的算法。

当然，利用前缀和的前提是，值需要可以叠加。举例来说，对于位运算而言，计算前缀和的思路就没那么容易实践了。

前缀和的广泛用途

前缀和不仅仅能够用于求和，它还可以被用于优化很多数据结构和算法。这里为您列出一些常用 scenario：

Prefix sum: 前缀和的直接使用，以求和为目的，在计算机科学和算法中广泛应用。
Prefix min/max: 前缀和的另一种常见用处是作为辅助数据结构。我们利用 prefix min/max 能够快速查询区间范围内的最值。
Prefix product: 前缀和的变体，用于产品计算，常见于数学运算中的乘法。
Prefix GCD: 在某些特殊情况下，前缀和也可以被用于快速计算公约数。
Prefix sum array: 前缀和技术创建的专用数据结构，用于快速求和，常用于数据结构和算法设计中。

毫无疑问，前缀和在上述这些 scenario 发挥了重要作用。不仅如此，它还被广泛用于解决诸如连续子序列和、子矩阵和之类算法问题。

理解和掌握前缀和

前缀和的概念虽然简单，但是由于其涉及数学和逻辑的结合，很多初学者往往容易混淆。所以，有必要剖析其中的一些关键注意点，逐一击破。

理解区间和前缀和之间的差别

所谓区间和，指的是一个区间内的多个连续值的叠加和，即两个位置（左，右）之间各值的和。而所谓的“前缀和”，则是从最开始到某个位置的值的叠加和，或者是第一个值到某个特定位置的叠加和。在面试时，对于区间和与前缀和之间的区别混淆，是考官们常常观察到并评判的重点。

避开负数的前缀和

由于绝大多数算法问题的前缀和，都是针对正值的，所以，作为面试的考官，我通常都会出一些诸如此类 negative prefix sums 的题目。毕竟，我的初衷是让候选人能够清晰的理解和掌握如何计算前缀和，从而帮助他们巩固对前缀和的认知。当然，在解决这些题目的时候，总是有一些候选人会犯错，尤其是刚开始学习 prefix sum 的新人。