巧用快速幂，轻松征服爬楼梯

后端

2023-10-25 03:08:08

爬楼梯，看似简单，但当阶梯数量庞大时，计算不同爬法却并非易事。借助快速幂这一利器，我们可以轻松征服这道看似复杂的数学难题。

快速幂的魅力

快速幂是一种高效计算大数幂的方法。它的本质是利用二分法思想，将一个指数拆分成多个较小的指数，从而降低计算复杂度。

设有一个底数为 a 的指数为 n 的幂，使用快速幂可以按如下步骤计算：

初始化结果为 1。
将 n 拆分成二进制表示，记为 b_0, b_1, ..., b_k。
遍历二进制表示的每一位 b_i：
- 如果 b_i 为 1，则将结果乘以 a^2^i。
返回结果。

解决爬楼梯问题

在爬楼梯问题中，我们有 n 阶楼梯，每次可以爬 1 或 2 个台阶。不同的爬法数量可以用斐波那契数列来表示，即 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。

我们可以使用快速幂来高效计算斐波那契数。具体步骤如下：

将 n 转换为二进制表示。
初始化结果为 [F(0), F(1)]。
遍历二进制表示的每一位 b_i：
- 如果 b_i 为 0，则将结果乘以 [[1, 1], [1, 0]]。
- 如果 b_i 为 1，则将结果乘以 [[1, 1], [0, 1]]。
返回结果的第一个元素，即 F(n)。

代码示例

以下是使用快速幂解决爬楼梯问题的 Python 代码：

def climb_stairs(n):
    """
    计算爬 n 阶楼梯的不同方法数。
    """
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1

    # 将 n 转换为二进制表示
    binary = bin(n)[2:]

    # 初始化结果为 [F(0), F(1)]
    res = [0, 1]

    # 遍历二进制表示的每一位
    for b in binary:
        # 如果 b 为 0，则将结果乘以 [[1, 1], [1, 0]]
        if b == '0':
            res = matrix_multiply(res, [[1, 1], [1, 0]])
        # 如果 b 为 1，则将结果乘以 [[1, 1], [0, 1]]
        else:
            res = matrix_multiply(res, [[1, 1], [0, 1]])

    # 返回结果的第一个元素，即 F(n)
    return res[0]

def matrix_multiply(a, b):
    """
    计算两个矩阵的乘积。
    """
    c = [[0 for _ in range(len(b[0]))] for _ in range(len(a))]
    for i in range(len(a)):
        for j in range(len(b[0])):
            for k in range(len(b)):
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c