一文读懂贝叶斯视角下的线性回归

人工智能

2023-12-04 14:27:17

贝叶斯视角下的线性回归：揭秘传统方法的创新

理解线性回归

线性回归是机器学习和统计学领域广受青睐的预测工具。它是一种利用数据点绘制直线或曲线的模型，从而能够基于已有信息预测未知数据点。传统线性回归认为模型参数是固定的常数，而贝叶斯派则提出了不同的视角。

贝叶斯派的线性回归观点

贝叶斯派将线性回归视为概率模型，其中模型参数并非恒定不变，而是随机变量。这种思想带来了新的推论和预测方式。

贝叶斯线性回归的基本概念

先验分布： 在获取数据之前，对模型参数的先验分布表示了我们的信念。
似然函数： 度量了在给定模型参数条件下观测数据的可能性。
后验分布： 将先验分布与似然函数结合后，得到后验分布。它表示了在观测数据后对模型参数的信念。

贝叶斯线性回归的优势

相较于传统线性回归，贝叶斯线性回归具有以下优势：

不确定性量化： 提供模型参数不确定性的估计，有助于理解模型的可靠性。
模型选择： 通过边际似然函数，可以挑选出最佳模型。
鲁棒性： 对异常值影响更小，确保异常值对模型参数的影响有限。

贝叶斯线性回归的局限

计算量大： 对于高维数据或复杂模型，计算量可能较大。
主观性： 先验分布的选择带有主观性，可能会影响模型结果。
模型选择困难： 有时很难选择最佳模型，特别是当多个模型的边际似然函数相近时。

贝叶斯线性回归的应用

贝叶斯线性回归广泛应用于多个领域：

金融： 预测股票价格和汇率。
医疗： 评估疾病风险和治疗效果。
营销： 分析消费者行为和广告效果。
制造： 优化产品质量和生产效率。

示例代码

import numpy as np
import pymc3 as pm

# 数据生成
np.random.seed(123)
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = 2 * x + 5 + np.random.randn(100)

# 贝叶斯线性回归模型
with pm.Model() as model:
    beta0 = pm.Uniform("beta0", -10, 10)
    beta1 = pm.Uniform("beta1", -10, 10)
    epsilon = pm.HalfCauchy("epsilon", 10)
    mu = beta0 + beta1 * x
    y_pred = pm.Normal("y_pred", mu, epsilon, observed=y)

    # 采样
    trace = pm.sample(1000)