搞懂动态规划：秒杀面试官的利器

见解分享

2023-10-23 19:48:05

动态规划：从入门到精通，算法高手的必备技能

在算法面试中，动态规划通常是考察重点。如果你能熟练运用动态规划，那么你将轻松秒杀面试官，拿到高薪工作。

什么是动态规划？

动态规划是一种算法，它将一个复杂的问题分解成一系列较小、更容易解决的子问题。通过逐步解决子问题，我们最终可以得到整个问题的解。

动态规划的基本思想

动态规划的基本思想是将大问题分解成小问题，逐步解决。小问题解决了，大问题也就迎刃而解了。

动态规划的步骤

动态规划的步骤一般如下：

确定问题： 明确你要解决的问题是什么。
找出子问题： 找到问题的子问题，子问题应该满足以下条件：
- 子问题可以独立解决。
- 子问题可以递归地定义。
定义状态： 定义状态，状态是子问题的解。
推导状态转移方程： 推导状态转移方程，用于计算子问题的解。

动态规划的常见技巧

动态规划有许多常见的技巧，比如：

备忘录法： 备忘录法是一种保存子问题解的技巧。这样，当我们再次遇到相同的子问题时，就可以直接从备忘录中取出解，而不用重新计算。
最优子结构： 最优子结构是指问题的最优解可以从其子问题的最优解组合而成。
递推关系： 递推关系是指一个子问题的解可以从其前面的子问题的解推导出来。

动态规划的应用

动态规划的应用领域非常广泛，包括：

最长递增子序列： 在一个序列中找到最长的递增子序列。
最短路径： 在一个图中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
背包问题： 在一个背包中装入一定数量的物品，使得背包的总价值最大。

代码示例

最长递增子序列

def longest_increasing_subsequence(nums):
  dp = [1] * len(nums)  # dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列长度
  for i in range(1, len(nums)):
    for j in range(i):
      if nums[i] > nums[j]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
  return max(dp)

最短路径

from collections import defaultdict

def shortest_path(graph, source, target):
  # graph[node]表示从node出发的所有边，边权为边上的权重
  dist = defaultdict(lambda: float('inf'))  # dist[node]表示从source到node的最短路径长度
  dist[source] = 0  # source到source的最短路径长度为0
  queue = [source]  # 保存待处理的节点
  while queue:
    node = queue.pop(0)  # 取出队首的节点
    for neighbor in graph[node]:
      if dist[node] + graph[node][neighbor] < dist[neighbor]:
        dist[neighbor] = dist[node] + graph[node][neighbor]
        queue.append(neighbor)
  return dist[target]  # 返回从source到target的最短路径长度

背包问题

def backpack(items, capacity):
  # items[i]表示第i个物品，(value, weight)分别表示物品的价值和重量
  dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(len(items) + 1)]  # dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包的最大价值
  for i in range(1, len(items) + 1):
    for j in range(1, capacity + 1):
      if items[i - 1][1] > j:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]
      else:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - items[i - 1][1]] + items[i - 1][0])
  return dp[-1][-1]  # 返回放入背包的最大价值