揭秘Leetcode斐波那契数列奥秘，告别递归，拥抱更优解！

2023-10-17 08:57:39

斐波那契数列：从递归到动态规划的算法优化

递归：斐波那契的经典解法

斐波那契数列，一个迷人的数列，以其独特的递归定义吸引着数学家和程序员。递归是一种编程技巧，通过函数自身调用自身来解决问题。在斐波那契数列中，我们可以定义一个函数来计算第 n 个数：如果 n 等于 0 或 1，则函数直接返回 n 本身；否则，函数会递归调用自身，分别计算第 n-1 和第 n-2 个斐波那契数，然后将两者相加作为返回值。

def fibonacci_recursive(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    else:
        return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)

递归的局限性

虽然递归方法简单易懂，但它存在一个致命缺陷——时间复杂度太高。随着 n 的增加，递归调用的次数会呈指数级增长，导致程序运行时间急剧增加。当 n 达到一定程度时，甚至可能造成程序崩溃。

动态规划：高效的解决方案

为了解决递归的效率问题，我们引入了动态规划这一算法。动态规划是一种自底向上的算法，它将问题分解成若干个子问题，然后依次解决这些子问题，并将子问题的解存储起来，以便在后续的计算中重复利用。这样一来，就可以避免重复计算，大大提高算法的运行效率。

在斐波那契数列中，我们可以使用一个数组 fib 来存储已经计算过的斐波那契数。当我们想要计算第 n 个斐波那契数时，先检查 fib 数组中是否已经存储了该值。如果已经存储，则直接返回该值；否则，计算第 n 个斐波那契数并将其存储在 fib 数组中，然后再返回该值。

def fibonacci_dp(n):
    fib = [0, 1]
    for i in range(2, n + 1):
        fib.append(fib[i - 1] + fib[i - 2])
    return fib[n]

动态规划的优势

这种动态规划方法的时间复杂度为 O(n)，与递归方法的指数级复杂度相比，有了质的飞跃。此外，动态规划方法还可以避免递归调用的内存开销，更加节省内存空间。

空间优化：更进一步

在上面的动态规划算法中，我们使用了一个 fib 数组来存储已经计算过的斐波那契数。随着 n 的增加，fib 数组也会随之增长，这可能会占用大量的内存空间。为了进一步优化算法，我们可以使用空间优化的动态规划方法。

空间优化的动态规划方法不再使用数组来存储已经计算过的斐波那契数，而是只使用两个变量来存储前两个斐波那契数。每当我们需要计算一个新的斐波那契数时，我们只需要将前两个斐波那契数相加，并将结果作为新的斐波那契数。同时，我们将前两个斐波那契数更新为新的斐波那契数和前一个斐波那契数。

def fibonacci_dp_optimized(n):
    first = 0
    second = 1
    for _ in range(2, n + 1):
        third = first + second
        first = second
        second = third
    return second