LeetCode 321：巧用动态规划算法，拼接出最大数

2023-10-05 04:27:56

动态规划的精髓：化繁为简，逐步求解

动态规划是一种解决优化问题的常用算法，它的核心思想是将一个复杂的问题分解成一系列相互关联的子问题，然后从最简单的子问题开始，逐步求解，最终得到最优解。在LeetCode 321题中，我们可以将拼接数字的过程看作是一个动态规划问题，具体步骤如下：

明确子问题和状态

子问题：对于数组A和数组B的长度分别为i和j，从这两个数组中选择k个元素拼接成一个新的数，使得该数尽可能大，这个最大数是多少？

状态：dp[i][j][k]表示从数组A的前i个元素和数组B的前j个元素中，选择k个元素拼接成一个新的数，使得该数尽可能大的最大值。
确定初始条件

当i=0或j=0时，dp[i][j][k]=0，因为没有任何元素可供选择。
状态转移方程

对于给定的i, j和k，有两种情况：
- 情况1： 从数组A中选择一个元素。此时，dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k], 10*dp[i-1][j][k-1]+A[i])。
- 情况2： 从数组B中选择一个元素。此时，dp[i][j][k]=max(dp[i][j-1][k], 10*dp[i][j-1][k-1]+B[j])。
计算最优解

最终，我们可以得到dp[m][n][k]，其中m和n分别为数组A和数组B的长度，k为要拼接的元素数量。这个值就是从数组A和数组B中选择k个元素拼接成一个新的数，使得该数尽可能大的最大值。

算法实现与实例解析

为了更好地理解动态规划算法在LeetCode 321题中的应用，我们通过代码示例来进一步解析：

def maxNumber(nums1, nums2, k):
  m, n = len(nums1), len(nums2)
  dp = [[[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]

  for i in range(1, m + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      for l in range(1, min(i + j, k) + 1):
        dp[i][j][l] = max(dp[i-1][j][l], dp[i][j-1][l], 10 * dp[i-1][j][l-1] + nums1[i-1], 10 * dp[i][j-1][l-1] + nums2[j-1])

  res = []
  i, j, l = m, n, k
  while l > 0:
    if dp[i][j][l] == 10 * dp[i-1][j][l-1] + nums1[i-1]:
      res.append(nums1[i-1])
      i -= 1
    elif dp[i][j][l] == 10 * dp[i][j-1][l-1] + nums2[j-1]:
      res.append(nums2[j-1])
      j -= 1
    l -= 1

  return ''.join(map(str, res[::-1]))