回旋复复——动态规划下的123号难题

后端

2023-09-10 19:23:57

在股票交易中，把握时机是关键。

股市瞬息万变，投资者需要具备敏锐的洞察力，捕捉每一个潜在的盈利机会。动态规划是一种强大的算法技术，它能够帮助我们对未来的可能情况进行分析，并找到最优的决策方案。

在本文中，我们将以一道经典的股票交易难题——123. 买卖股票的最佳时机 III作为例子，展示动态规划的强大功能。

题目

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

解题思路

这道题目的核心在于如何确定买卖股票的最佳时机。

我们可以将这个问题分解为以下几个子问题：

在第 i 天之前，不进行任何交易，所能获得的最大利润是多少？
在第 i 天之前，进行一次买入操作，所能获得的最大利润是多少？
在第 i 天之前，进行一次买入操作并一次卖出操作，所能获得的最大利润是多少？

通过解决这些子问题，我们可以逐步推导出最终的解法。

动态规划状态转移方程

根据上述子问题，我们可以定义以下动态规划状态转移方程：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
dp[i][k][2] = max(dp[i-1][k][2], dp[i-1][k][1] + prices[i])

其中：

dp[i][k][0] 表示在第 i 天之前，不进行任何交易，所能获得的最大利润。
dp[i][k][1] 表示在第 i 天之前，进行一次买入操作，所能获得的最大利润。
dp[i][k][2] 表示在第 i 天之前，进行一次买入操作并一次卖出操作，所能获得的最大利润。
k 表示最多可以进行的交易次数。
prices[i] 表示第 i 天的股票价格。

代码实现

def maxProfit(prices):
    k = 2  # 最多可以进行的交易次数
    n = len(prices)
    dp = [[[0 for _ in range(3)] for _ in range(k + 1)] for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for k in range(1, k + 1):
            dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
            dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
            dp[i][k][2] = max(dp[i-1][k][2], dp[i-1][k][1] + prices[i])

    return dp[n][k][2]