剖析算法：1~n 整数中 1 出现的次数及数字序列中特定位置的数字
2023-11-20 01:04:01
踏入数字奥秘的殿堂，我们开启一段算法探索之旅。我们将探究如何在 1~n 整数中统计 1 出现的次数，以及如何确定数字序列中特定位置的数字。掌握这些技巧，我们便能驾驭数字世界的复杂性，解锁无限可能。
1~n 整数中 1 出现的次数
设想有一个整数 n，我们需要计算从 1 到 n 之间所有整数的十进制表示中，数字 1 出现的总次数。
分解问题
我们将问题分解成更小的子问题。对于每个整数 i，我们可以检查其个位数、十位数、百位数等。如果任意一位为 1，则 1 出现的次数就会增加。
逐位计数
我们从个位数开始，然后依次检查更高位。对于每一位，我们执行以下步骤：
- 计算出该位上的数字（例如，i // 10 % 10 获取十位数）。
- 如果数字为 1，则将 1 出现的次数加 1。
- 对于高位，将 i 除以 10 以获得下一个较低位上的数字。
时间复杂度
该算法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是给定的整数。这是因为对于每个整数，我们需要检查其每一位，而整数位数最多为 log n。
数字序列中特定位置的数字
除了计算 1 出现的次数，我们还可以确定数字序列中特定位置的数字。例如，我们想知道数字序列 1234567890 中第 100 个数字是什么。
将数字序列映射到整数
我们可以将数字序列映射到一个整数，其中每一位对应整数的特定幂。例如，数字序列 1234567890 可以映射为整数 10^9 + 2 * 10^8 + 3 * 10^7 + ... + 9 * 10^0。
定位数字位置
要确定数字序列中特定位置的数字，我们需要找到映射后的整数中对应位置的幂。例如，对于第 100 个数字，我们需要找到 100 对应的幂，即 10^99。
提取数字
找到对应的幂后，我们可以通过除法和取余来提取数字序列中的特定数字。例如，要提取第 100 个数字，我们可以执行以下步骤：
- 将映射后的整数除以 10^99。
- 取余数。
- 余数就是数字序列中第 100 个数字。
时间复杂度
该算法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数字序列中的数字个数。这是因为我们需要将数字序列映射到整数，其时间复杂度为 O(log n)，然后提取特定数字，其时间复杂度为常数。
总结
通过探索算法，我们掌握了计算 1~n 整数中 1 出现的次数和确定数字序列中特定位置数字的方法。这些技巧为我们在处理数字数据时提供了有力的工具，帮助我们在信息浩瀚的世界中游刃有余。
