揭开动态规划的本质面纱：理解、超越、再造

2023-09-22 02:52:15

揭秘动态规划：征服复杂问题的强大算法

动态规划：超越时间与空间的艺术

如果你正在寻找一个解决复杂问题的强大工具，那么动态规划（DP）绝对值得一试。DP 是一种优化技术，它通过将难题分解成更小、更简单的子问题，再逐一解决这些子问题，从而找到整个问题的最佳解决方案。想象一下，就像是一个聪明的厨师，将一道复杂的菜品分解成一个个小的烹饪步骤，最终呈现出一道令人垂涎的佳肴。

递归与动态规划：空间换时间

DP 和递归乍一看很相似，它们都采用分治法，但两者却有着本质的区别。递归不断将问题分解成更小的子问题，直到子问题简单到可以轻松解决，然后逐层回溯，将子问题的解组合成整个问题的解。这种“从上到下”的方法虽然直观简单，但存在一个巨大的弊端——重复计算。

动态规划则不同，它通过巧妙地利用子问题的重叠性，避免了重复计算，从而显著提高求解效率。当我们求解一个复杂问题时，DP 首先将问题分解成一系列子问题，然后从最简单的子问题开始求解，并记录每个子问题的解。当遇到重复的子问题时，DP 直接从记录中取出子问题的解，而无需重新计算，大大节省了时间和空间。

动态规划与贪心：欲速则不达

动态规划与贪心算法也有着密切的联系。贪心算法是一种“及时享乐”的算法，它总是选择当前最优的解，而不管这个解对整个问题的影响如何。这种“见利忘义”的做法，虽然有时候能找到最优解，但更多情况下，贪心算法只能找到局部最优解，而无法找到全局最优解。

动态规划则不同，它并不急于求成，而是从长远考虑，通过计算每个子问题的最优解，并根据这些子问题的最优解来计算整个问题的最优解。这种“谋定而后动”的做法，虽然有时候计算量更大，但它能够保证找到全局最优解，避免贪心算法的局部最优解陷阱。

斐波那切数列与零钱兑换：动态规划的经典应用

为了更深入地理解动态规划的本质，让我们来看两个经典的 DP 应用案例：斐波那切数列和零钱兑换。

斐波那切数列：空间换时间的教科书

斐波那切数列是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……其中，每个数字都是前两个数字之和。计算斐波那切数列的第 n 项，是一个典型的递归问题。然而，如果我们使用递归算法来计算，将会遇到严重的重复计算问题，导致时间复杂度呈指数增长。

动态规划则巧妙地利用了斐波那切数列的重叠性，避免了重复计算。它首先将问题分解成一系列子问题，即计算斐波那切数列的第 0 项、第 1 项、第 2 项、……第 n 项。然后，从最简单的子问题开始求解，并记录每个子问题的解。当遇到重复的子问题时，DP 直接从记录中取出子问题的解，而无需重新计算。这种“空间换时间”的做法，使动态规划算法的时间复杂度降低到了 O(n)，大大提高了求解效率。

零钱兑换：最优解的艺术

零钱兑换问题是这样一个问题：给定一系列面值不同的硬币，如何用最少的硬币来兑换一个给定的金额。例如，如果我们有 1 元、5 元和 10 元的硬币，如何用最少的硬币来兑换 11 元？

贪心算法会选择面值最大的硬币，即 10 元硬币。它会用 10 元硬币兑换 10 元，然后用剩下的 1 元硬币兑换 1 元。这样，它一共需要 2 个硬币。

动态规划则不同，它会计算出兑换每种金额所需的最少硬币数，并记录下来。当它需要兑换 11 元时，它会查看记录，发现兑换 10 元所需的最少硬币数是 1 个，兑换 1 元所需的最少硬币数是 1 个。因此，它只需要用 1 个 10 元硬币和 1 个 1 元硬币，就可以兑换 11 元。这样，它一共只需要 2 个硬币，与贪心算法相同。

然而，当我们需要兑换更大的金额时，动态规划的优势就显现出来了。例如，当我们需要兑换 100 元时，贪心算法会选择用 100 个 1 元硬币来兑换。这样，它一共需要 100 个硬币。

动态规划则不同，它会计算出兑换每种金额所需的最少硬币数，并记录下来。当它需要兑换 100 元时，它会查看记录，发现兑换 90 元所需的最少硬币数是 9 个，兑换 10 元所需的最少硬币数是 1 个。因此，它只需要用 9 个 10 元硬币和 1 个 1 元硬币，就可以兑换 100 元。这样，它一共只需要 10 个硬币，比贪心算法少了 90 个硬币。

代码示例：斐波那切数列

def fibonacci(n):
    # 创建一个数组来存储子问题的解
    dp = [None] * (n + 1)
    
    # 计算斐波那切数列的第 0 项和第 1 项
    dp[0] = 0
    dp[1] = 1
    
    # 从第 2 项开始，计算斐波那切数列的每一项
    for i in range(2, n + 1):
        # 如果子问题的解已经存在，则直接返回
        if dp[i] is not None:
            return dp[i]
        
        # 计算子问题的解
        dp[i] = fibonacci(i - 1) + fibonacci(i - 2)
    
    # 返回斐波那切数列的第 n 项
    return dp[n]

代码示例：零钱兑换

def coin_change(coins, amount):
    # 创建一个数组来存储子问题的解
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    
    # 初始化第 0 个子问题的解为 0
    dp[0] = 0
    
    # 对于每种硬币面值
    for coin in coins:
        # 对于每种金额
        for i in range(coin, amount + 1):
            # 如果当前金额减去硬币面值大于等于 0，则更新子问题的解
            if i - coin >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
    
    # 返回最少硬币数
    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1