leetcode2249题：数学解方程，精妙巧思求解！

导语

leetcode 第 290 场周赛题解来了！这道题考察的是数学解方程的技巧。题目要求计算一个给定圆内格点数的数量，需要用到数学知识和几何知识。相信对各位算法爱好者来说，这是一次难得的挑战机会。

题目

给你一个整数 n 和一个整数 radius 。现有一个圆，其半径为 radius ，圆心位于原点 (0, 0) 。现要在圆内随机选择 n 个点，每个点可以选择圆内任何位置。

试求出在给定条件下，圆内所有格点数的期望数量。

其中，格点数是指圆内与 x 轴和 y 轴都平行的格子的数量。

示例 1：

输入：n = 1, radius = 2
输出：5.499999999999999

示例 2：

输入：n = 5, radius = 10
输出：77.87400793225082

示例 3：

输入：n = 75, radius = 48
输出：2364.298031248485

提示：

• 1 <= n <= 10^5
• 1 <= radius <= 10^5

算法分析

这道题乍一看比较难，但实际上，我们可以通过数学解方程的方法轻松解决。

首先，我们需要知道圆内格点数的公式。假设圆的半径为 r，则圆内格点数为：

格点数 = πr^2

这个公式告诉我们，圆内格点数与圆的面积成正比。

现在，我们只需要知道如何计算圆内随机选择 n 个点的期望面积。这个问题可以通过数学期望来解决。

数学期望

数学期望是指随机变量的可能取值的平均值。在我们的例子中，随机变量是圆内格点数。我们可以通过计算每个可能格点数出现的概率，然后乘以对应的格点数，再求和，就可以得到圆内格点数的期望值。

具体步骤如下：

1. 计算圆内格点数的可能取值。在我们的例子中，圆内格点数的可能取值是 0, 1, 2, ...，直到 πr^2。

2. 计算每个可能格点数出现的概率。每个可能格点数出现的概率是 1 / (πr^2)。

3. 计算圆内格点数的期望值。圆内格点数的期望值是：

E(格点数) = 0 * 1 / (πr^2) + 1 * 1 / (πr^2) + 2 * 1 / (πr^2) + ... + πr^2 * 1 / (πr^2)

这个式子可以简化为：

E(格点数) = πr^2 / (πr^2) = 1

因此，圆内随机选择 n 个点的期望面积为：

E(面积) = n * πr^2

最后，我们只需要将 E(面积) 带入圆内格点数的公式，就可以得到圆内格点数的期望数量：

E(格点数) = π * n * r^2

代码实现

def countLatticePoints(n: int, radius: int) -> int:
    """
    计算一个给定圆内格点数的期望数量。

    Args:
        n: 圆内随机选择点的数量。
        radius: 圆的半径。

    Returns:
        圆内格点数的期望数量。
    """

    # 计算圆的面积。
    area = math.pi * radius ** 2

    # 计算圆内格点数的期望数量。
    expected_lattice_points = math.pi * n * area

    return expected_lattice_points

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(1)，因为计算圆内格点数的期望数量只需要进行简单的数学计算。

空间复杂度

该算法的空间复杂度也为 O(1)，因为只需要存储一些常数。

结语

这道题考察的是数学解方程的技巧，通过数学期望的思想，我们可以轻松解决这个问题。希望这篇题解对你有帮助，也希望你能够在算法的道路上不断进步！