攀登胜利的阶梯：用算法征服LeetCode第70题“爬楼梯”

闲谈

2024-02-06 11:27:45

攀登楼梯，是一项常见的数学和算法问题，也是计算机科学中动态规划的经典案例。

在LeetCode第70题“爬楼梯”中，给定一个正整数n，表示需要爬的楼梯数，我们的目标是计算出到达楼梯顶部的不同方式。

问题分解

为了解决这个问题，我们可以将它分解成更小的子问题：

如果只有一级楼梯，那么只有一种方法可以到达楼梯顶部。
如果有两级楼梯，那么有两种方法可以到达楼梯顶部：走一步或走两步。
如果有三级楼梯，那么有三种方法可以到达楼梯顶部：走一步、走两步或走三步。

以此类推，我们可以发现，到达楼梯顶部的不同方式等于到达楼梯倒数第二级和到达楼梯倒数第三级的方式之和。

动态规划解法

根据以上分析，我们可以使用动态规划来解决这个问题。动态规划是一种自底向上的算法，它将问题分解成一系列子问题，并通过解决这些子问题来解决整个问题。

动态规划的步骤如下：

定义一个数组dp，其中dp[i]表示到达第i级楼梯的不同方式。
初始化dp数组，其中dp[0] = 1（只有一级楼梯，只有一种方法可以到达楼梯顶部），dp[1] = 1（有两级楼梯，有两种方法可以到达楼梯顶部）。
从第3级楼梯开始，计算dp[i]的值。dp[i]等于dp[i-1]和dp[i-2]之和，因为到达第i级楼梯的方法等于到达第i-1级楼梯的方法和到达第i-2级楼梯的方法之和。
重复步骤3，直到计算出dp[n]的值。dp[n]就是到达楼梯顶部的不同方式。

代码实现

def climb_stairs(n):
  """
  计算到达楼梯顶部的不同方式。

  Args:
    n: 楼梯数。

  Returns:
    到达楼梯顶部的不同方式。
  """

  # 定义一个数组dp，其中dp[i]表示到达第i级楼梯的不同方式。
  dp = [0] * (n + 1)

  # 初始化dp数组。
  dp[0] = 1
  dp[1] = 1

  # 从第3级楼梯开始，计算dp[i]的值。
  for i in range(2, n + 1):
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

  # 返回到达楼梯顶部的不同方式。
  return dp[n]


if __name__ == "__main__":
  # 测试代码。
  n = 4
  print("到达楼梯顶部的不同方式：", climb_stairs(n))