化繁为简：使用动态规划轻松搞定爬楼梯最小花费问题

2023-12-18 14:13:57

引言

在计算机科学领域，动态规划是一种强大的算法范式，常用于解决具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。其中，“爬楼梯问题”是一个经典的动态规划问题，其衍生出的“使用最小花费爬楼梯”问题尤为引人入胜。在本文中，我们将深入探讨如何使用动态规划解决最小花费爬楼梯问题，并逐步优化解题思路，从递归到记忆化搜索再到动态规划，以揭示其巧妙的算法设计思想。

问题

假设你正在爬楼梯。需要支付一定的费用才能爬上一步台阶。给你一个包含每个台阶费用的数组 cost，请你计算爬到楼梯顶端的最小总费用。你可以一次爬一个或两个台阶。

递归解法

最直接的解法是使用递归。在每个台阶处，我们都可以选择爬一个或两个台阶，然后递归地计算从当前台阶到楼梯顶端的最小费用。但是，这种递归解法存在重叠子问题，会导致时间复杂度呈指数级增长，无法有效解决大规模问题。

记忆化搜索优化

为了避免重叠子问题的计算，我们可以使用记忆化搜索对递归解法进行优化。在记忆化搜索中，我们存储已经计算过的子问题的解，当遇到相同的子问题时，直接从存储中取用，避免重复计算。这样可以大幅减少计算量，但仍然保留了递归解法的结构。

动态规划优化

动态规划是解决最小花费爬楼梯问题的最优解法。它通过自底向上的方式计算子问题的最优解，并存储在数组中，从而避免了重复计算。动态规划解法的核心在于识别问题中重叠的子结构和最优子结构性质。对于爬楼梯问题，我们可以定义一个状态 dp[i]，表示爬到第 i 个台阶的最小总费用。然后，我们可以使用以下动态规划方程来计算 dp[i]：

dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])

其中，dp[i-1] 表示爬到第 i-1 个台阶的最小总费用，dp[i-2] 表示爬到第 i-2 个台阶的最小总费用，cost[i-1] 表示爬到第 i-1 个台阶的费用。

算法实现

使用动态规划解决最小花费爬楼梯问题的算法实现如下：

def minCostClimbingStairs(cost):
    n = len(cost)
    dp = [0] * (n+1)
    
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])
        
    return dp[n]