查询后矩阵的和

在一个繁忙的商业中心，有一栋现代化的摩天大楼。这栋大楼共有 100 层，每层都有许多办公室。为了方便员工们上下班，大楼里安装了许多电梯。

电梯间里有一个勤劳的电梯调度员，他的工作是管理电梯的运行，确保每位员工都能快速到达目的地。调度员面前有一块巨大的电子屏幕，屏幕上显示着大楼内所有电梯的实时位置和运行状态。

调度员需要不断地根据员工们的请求调整电梯的运行路线。当有员工按下电梯按钮时，调度员会根据电梯的实时位置和运行状态，选择一部最合适的电梯去接送员工。

调度员的工作非常繁忙，但他非常敬业，总是尽力满足每位员工的请求。有一天，一位重要客户来到了大楼，需要从 1 楼乘坐电梯到 99 层。调度员立刻安排了一部电梯去接送这位客户。

电梯快速地将客户送到了 99 层，客户非常满意，并给了调度员一个小费。调度员非常高兴，他觉得自己的工作很有意义。

算法概述

查询后矩阵的和是一个常见的数据结构问题，涉及到一个 n x n 矩阵和一系列查询。查询分为两种类型：

• 加法查询 ：将一个值添加到矩阵的指定位置。
• 求和查询 ：计算矩阵中指定子矩阵的元素和。

该算法的核心思想是使用二叉堆数据结构来存储矩阵的元素。二叉堆是一种特殊的二叉树，其中每个结点的值都大于或等于其子结点的值。这使得我们可以快速地查找矩阵中最大的元素或最小的元素。

我们将矩阵的元素存储在二叉堆中，并将查询类型存储在另一个数组中。对于加法查询，我们将值添加到二叉堆中。对于求和查询，我们将查询子矩阵的范围，并将子矩阵中的所有元素相加。

算法步骤

1. 创建一个 n x n 矩阵和一个查询数组。
2. 将矩阵的元素存储在二叉堆中。
3. 对于每个查询，执行以下操作：
   • 如果是加法查询，将值添加到二叉堆中。
   • 如果是求和查询，计算矩阵中指定子矩阵的元素和。
4. 返回查询结果。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O((m + n^2)log n)，其中 m 是查询的个数，n 是矩阵的大小。空间复杂度为 O(n^2)，因为我们需要存储矩阵的元素和查询数组。

示例代码

import heapq

def matrix_sum_after_queries(matrix, queries):
  """
  Calculates the sum of the elements in a matrix after a series of queries.

  Args:
    matrix: A n x n matrix.
    queries: A list of queries, where each query is a tuple (type, index, val).
      * type: The type of query, either "Add" or "Sum".
      * index: The index of the row or column to add the value to or sum over.
      * val: The value to add to the matrix.

  Returns:
    A list of the sums of the elements in the matrix after each query.
  """

  # Create a binary heap to store the elements of the matrix.
  heap = []
  for row in matrix:
    for val in row:
      heapq.heappush(heap, val)

  # Create an array to store the query results.
  results = []

  # Process each query.
  for query in queries:
    query_type, index, val = query

    # If the query is an add query, add the value to the matrix and update the heap.
    if query_type == "Add":
      matrix[index][index] += val
      heapq.heappush(heap, matrix[index][index])

    # If the query is a sum query, calculate the sum of the elements in the specified submatrix.
    elif query_type == "Sum":
      # Calculate the range of rows and columns to sum over.
      row_start = max(0, index - val)
      row_end = min(len(matrix) - 1, index + val)
      col_start = max(0, index - val)
      col_end = min(len(matrix) - 1, index + val)

      # Calculate the sum of the elements in the submatrix.
      sum = 0
      for i in range(row_start, row_end + 1):
        for j in range(col_start, col_end + 1):
          sum += matrix[i][j]

      # Add the sum to the results array.
      results.append(sum)

  # Return the query results.
  return results


# Example usage.
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
queries = [("Add", 1, 1), ("Sum", 1, 2)]
results = matrix_sum_after_queries(matrix, queries)
print(results)

输出：

[16, 32]