探索“最长公共子序列”：破解LCS算法奥秘

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2023-12-25 22:40:54

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前言：最长公共子序列问题

在计算机科学中，“最长公共子序列”问题是指在两个字符串中找到一个最长的子序列，该子序列是两个字符串的公共部分。例如，字符串“ABCD”和“EDCB”的最长公共子序列是“BD”，因为这是两个字符串共有的最长连续字符序列。

最长公共子序列问题在各种应用中都有广泛的使用，包括字符串比较、文本编辑、生物信息学和密码学等。

算法剖析：动态规划求解LCS

解决“最长公共子序列”问题的常用方法是动态规划算法。动态规划是一种将复杂问题分解成更小的子问题，然后逐步求解子问题，最终得到整体问题的解法。

对于LCS问题，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串text1的前i个字符和字符串text2的前j个字符的最长公共子序列的长度。然后，我们可以使用递推公式来计算dp数组：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1, if text1[i] == text2[j]
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), if text1[i] != text2[j]

这个递推公式的含义是：如果text1的第i个字符和text2的第j个字符相等，那么dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]加1，因为我们可以将这两个字符添加到最长公共子序列中。如果text1的第i个字符和text2的第j个字符不相等，那么dp[i][j]等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值，因为我们必须从两个字符中选择一个添加到最长公共子序列中。

代码实现：Python解决方案

def lcs(text1, text2):
  """
  计算两个字符串的最长公共子序列的长度。

  参数：
    text1: 第一个字符串。
    text2: 第二个字符串。

  返回：
    两个字符串的最长公共子序列的长度。
  """

  # 创建二维数组dp，其中dp[i][j]表示text1的前i个字符和text2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
  dp = [[0 for _ in range(len(text2) + 1)] for _ in range(len(text1) + 1)]

  # 填充dp数组。
  for i in range(1, len(text1) + 1):
    for j in range(1, len(text2) + 1):
      if text1[i-1] == text2[j-1]:
        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
      else:
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

  # 返回dp数组的最后一个元素，即两个字符串的最长公共子序列的长度。
  return dp[-1][-1]


if __name__ == "__main__":
  # 示例输入。
  text1 = "ABCD"
  text2 = "EDCB"

  # 调用lcs函数计算最长公共子序列的长度。
  lcs_length = lcs(text1, text2)

  # 打印最长公共子序列的长度。
  print(f"最长公共子序列的长度：{lcs_length}")