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扩展欧几里得算法：入门指南

闲谈

扩展欧几里得算法入门

扩展欧几里得算法是一种用于计算两个整数最大公约数（GCD）的算法。它基于欧几里得算法，但它可以计算出更多信息，包括扩展GCD和贝祖等式。

欧几里得算法简介

欧几里得算法用于计算两个整数的最大公约数（GCD）。它的基本原理是将较大的整数除以较小的整数，然后用除数作为新的较大整数，用余数作为新的较小整数。重复这个过程，直到余数为0，此时除数就是这两个整数的最大公约数。

例如，计算1071和462的最大公约数：

  1. 1071 ÷ 462 = 2，余数为147。
  2. 462 ÷ 147 = 3，余数为99。
  3. 147 ÷ 99 = 1，余数为48。
  4. 99 ÷ 48 = 2，余数为1。
  5. 48 ÷ 1 = 48，余数为0。

所以，1071和462的最大公约数是48。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是在欧几里得算法的基础上扩展而来，可以计算出更多信息，包括扩展GCD和贝祖等式。

扩展GCD是两个整数的最大公约数的倍数。它可以表示为：

ax + by = gcd(a, b)

其中，a和b是两个整数，x和y是整数系数。

贝祖等式是两个整数最大公约数的线性表示形式。它可以表示为：

gcd(a, b) = ua + vb

其中，u和v是整数系数。

扩展欧几里得算法的应用

扩展欧几里得算法在数论和密码学中都有广泛的应用。

在数论中，扩展欧几里得算法可用于求解线性同余方程。线性同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m是整数，x是未知数。扩展欧几里得算法可以求出满足该方程的整数解x。

在密码学中，扩展欧几里得算法可用于求解离散对数问题。离散对数问题是指形如a^x ≡ b (mod p)的方程，其中a、b和p是整数，x是未知数。扩展欧几里得算法可以求出满足该方程的整数解x。

扩展欧几里得算法的实现

扩展欧几里得算法可以用递归或迭代的方式实现。这里给出一个用Python实现的迭代版本的扩展欧几里得算法：

def extended_gcd(a, b):
    """
    计算两个整数的最大公约数、扩展GCD和贝祖等式。

    参数：
        a: 第一个整数
        b: 第二个整数

    返回：
        一个元组，包含三个整数：最大公约数、x和y
    """
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
        x = y1
        y = x1 - (a // b) * y1
        return gcd, x, y

这个算法的时间复杂度是O(log(min(a, b)))。

扩展欧几里得算法的实例

下面给出一个使用扩展欧几里得算法求解线性同余方程的实例：

a = 3
b = 5
m = 11

x, _, _ = extended_gcd(a, m)
x = (x * b) % m

print(x)

这个程序输出的结果是3，它是方程3x ≡ 5 (mod 11)的解。