S02E19：点到三角形上的最近点坐标

在三维空间中，找到点到三角形上最近点的坐标是一项常见的几何问题，它在计算机图形学、运筹学等领域有着广泛的应用。

当点到三角形上最近的点位于三角形内部时，它一定是三角形三个顶点的加权平均点，即：

最近点 = w1 * 顶点1 + w2 * 顶点2 + w3 * 顶点3

其中，w1、w2、w3 是非负权重，并且 w1 + w2 + w3 = 1。

当点到三角形上最近的点位于三角形的某条边上时，它一定是边上的一个端点或边上的一个点。

投影点跨越两条边的特殊情况

在某些情况下，点到三角形的投影点可能跨越三角形的两条边。此时，最近点一定是三角形的顶点。但是，这并不一定意味着最近点离顶点最近。

为了找到离投影点最近的点，需要计算点到顶点的距离，然后选择离投影点最近的顶点。

算法步骤

根据上述分析，我们可以给出以下算法步骤来找到点到三角形上最近点的坐标：

1. 计算点到三角形平面的投影点。
2. 判断投影点是否位于三角形内部。
3. 如果投影点位于三角形内部，则计算投影点到三角形三个顶点的距离，并选择距离最小的顶点。
4. 如果投影点不位于三角形内部，则计算投影点到三角形三条边的距离，并选择距离最小的边。
5. 如果投影点位于边上，则选择边上的一个端点作为最近点。
6. 如果投影点跨越两条边，则计算点到三角形三个顶点的距离，并选择离投影点最近的顶点作为最近点。

代码示例

def closest_point_to_triangle(point, triangle):
    """
    找到点到三角形上最近点的坐标。

    参数：
        point：要查找最近点的点。
        triangle：三角形。

    返回：
        最近点。
    """

    # 计算点到三角形平面的投影点。
    projection_point = project_point_to_plane(point, triangle.plane)

    # 判断投影点是否位于三角形内部。
    if is_point_inside_triangle(projection_point, triangle):
        # 计算投影点到三角形三个顶点的距离。
        distances = [distance(projection_point, vertex) for vertex in triangle.vertices]

        # 选择距离最小的顶点。
        closest_vertex = triangle.vertices[np.argmin(distances)]

        # 返回最近点。
        return closest_vertex

    else:
        # 计算投影点到三角形三条边的距离。
        distances = [distance(projection_point, edge) for edge in triangle.edges]

        # 选择距离最小的边。
        closest_edge = triangle.edges[np.argmin(distances)]

        # 如果投影点位于边上，则选择边上的一个端点作为最近点。
        if is_point_on_line_segment(projection_point, closest_edge):
            closest_point = closest_edge.endpoints[0] if distance(projection_point, closest_edge.endpoints[0]) < distance(projection_point, closest_edge.endpoints[1]) else closest_edge.endpoints[1]

        # 如果投影点跨越两条边，则计算点到三角形三个顶点的距离，并选择离投影点最近的顶点作为最近点。
        else:
            distances = [distance(projection_point, vertex) for vertex in triangle.vertices]
            closest_vertex = triangle.vertices[np.argmin(distances)]
            closest_point = closest_vertex

        # 返回最近点。
        return closest_point