接连不断，1319: 连通网络的操作次数

在这个网络的世界中，线缆和连通性都是至关重要的。我们有一个由 n 台计算机组成的网络，每台计算机用编号从 0 到 n-1 表示，而线缆用 connections 数组来，其中 connections[i] = [a, b] 表示第 i 条线缆连接着计算机 a 和计算机 b。

我们的目标是了解如何通过添加线缆或断开线缆，使网络中所有的计算机都连通起来，为了达成这个目标，我们需要计算出执行这些操作的最小次数。在这段旅程中，我们将使用一种名为“并查集”的数据结构，它能高效地解决这类问题。

让我们开始探索“并查集”的奥秘吧！

并查集的运作原理

并查集是一种树形数据结构，其中每个元素都属于一个集合，每个集合都有一个代表。集合的代表是集合中任意一个元素，它代表了整个集合。并查集的操作主要包括：

1. 查找 ：查找一个元素所属的集合。
2. 合并 ：将两个集合合并成一个集合。

算法步骤

1. 初始化 ：将每个计算机作为一个单独的集合，总共有 n 个集合。
2. 遍历线缆 ：对于每条线缆 connections[i]，如果计算机 a 和计算机 b 不属于同一个集合，则将它们合并为一个集合。
3. 计算操作次数 ：线缆的总数减去集合的总数，就是执行操作的最小次数。

代码实现

def make_set(n):
    return [i for i in range(n)]

def find_set(parent, x):
    if parent[x] == x:
        return x
    return find_set(parent, parent[x])

def union_set(parent, a, b):
    a_root = find_set(parent, a)
    b_root = find_set(parent, b)
    parent[b_root] = a_root

def min_operations(n, connections):
    parent = make_set(n)
    for a, b in connections:
        union_set(parent, a, b)
    return n - len(set(find_set(parent, i) for i in range(n)))

# 示例输入
n = 4
connections = [[0, 1], [0, 2], [1, 2]]

# 函数调用
result = min_operations(n, connections)

# 输出结果
print("最少操作次数：", result)

让我们来分析一下这段代码：

• make_set(n) ：这个函数初始化并查集，将每个计算机作为一个单独的集合。
• find_set(parent, x) ：这个函数查找计算机 x 所属的集合。
• union_set(parent, a, b) ：这个函数将计算机 a 和计算机 b 所在的集合合并为一个集合。
• min_operations(n, connections) ：这个函数计算执行操作的最小次数。

最后，我们使用一个示例输入来演示一下算法的实际运行情况：

# 示例输入
n = 4
connections = [[0, 1], [0, 2], [1, 2]]

# 函数调用
result = min_operations(n, connections)

# 输出结果
print("最少操作次数：", result)

在这个示例中，我们有一个由 4 台计算机组成的网络，并且有 3 条线缆连接着它们。经过计算，我们发现执行操作的最小次数为 1。

总结

通过使用并查集，我们可以高效地计算出使所有计算机连通起来的操作次数。这种算法在很多场景中都有应用，例如社交网络中的好友关系管理、图像处理中的连通区域检测等。

现在，你已经掌握了使用并查集来解决连通性问题的技巧，希望你能在未来的项目中大展身手。