01背包与完全背包：轻松掌握动态规划的精髓

前端

2023-05-19 06:45:26

背包算法：优化装载的艺术

想象一下，你有一个容量有限的背包，需要装入各种物品，每种物品都有自己的重量和价值。你的目标是选择一种物品组合，既能装满背包，又能最大化它们的总价值。这就是背包算法出场的时刻。

01背包：限制选择，释放潜能

在01背包问题中，每种物品只能选择一次。这意味着你必须谨慎选择，因为你的选择会影响背包的最终价值。

步骤拆解：

定义状态： dp[i][j] 表示在前i种物品中，放入容量为j的背包时，所能获得的最大价值。
初始化： dp[0][j] = 0，表示不选择任何物品，价值为0。
动态规划： 对于每个物品i，从1到n：
- 如果物品i的重量大于j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，因为物品i不能放入背包。
- 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-物品i的重量] + 物品i的价值)。

完全背包：无限选择，无限可能

与01背包不同，完全背包允许每种物品选择任意多次。这就提供了更大的灵活性，但同时增加了计算的复杂度。

步骤优化：

定义状态： dp[i][j] 表示在前i种物品中，放入容量为j的背包时，所能获得的最大价值。
初始化： dp[0][j] = 0，表示不选择任何物品，价值为0。
动态规划： 对于每个物品i，从1到n：
- 对于每个容量j，从物品i的重量到j：
  - dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-物品i的重量] + 物品i的价值)。

代码示例：

def knapsack(items, W):
    """
    Finds the maximum value of items that can be placed in a knapsack of capacity W.

    Args:
        items: A list of tuples (weight, value).
        W: The capacity of the knapsack.

    Returns:
        The maximum value of items that can be placed in the knapsack.
    """

    # Initialize the dp table.
    dp = [[0 for _ in range(W + 1)] for _ in range(len(items) + 1)]

    # Fill in the dp table.
    for i in range(1, len(items) + 1):
        weight, value = items[i-1]
        for j in range(1, W + 1):
            if weight > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight] + value)

    # Return the maximum value.
    return dp[len(items)][W]


# Example usage.
items = [(2, 3), (1, 2), (3, 4), (4, 5)]
W = 5
print(knapsack(items, W))  # Output: 9