二进制中的1 决定排序：从小到大是法则

2023-12-17 00:13:26

二进制排序算法：利用二进制之力的巧妙排序技巧

在浩瀚的计算机科学领域中，算法宛若璀璨的明珠，照耀着问题求解的道路。排序算法 作为算法家族中的一员，以其将数据排列成特定顺序的卓越能力而闻名遐迩，其中，二进制排序算法 尤为独树一帜。

二进制的奥秘

二进制排序算法的秘密武器在于对二进制表示 的巧妙利用。二进制是一种以2为基数的计数系统，不同于我们熟悉的十进制，二进制中的每个数字仅由0和1组成。

举个例子，十进制数123在二进制中表示为1111011。从右往左，每一位数字分别代表2的0次方、1次方、2次方、3次方、4次方和6次方。因此，123在二进制中的展开式为：

1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 123

二进制排序的奥妙

二进制排序算法正是利用二进制表示中1的个数来进行排序的。算法的精髓在于：比较两个数字二进制中1的个数，1的个数多的排在前面；若1的个数相同，则比较两个数字的大小，大的排在前面。

示例实战

为了更深入地理解算法的运作原理，我们不妨以一个示例来说明。假设我们有一个数组[10, 11, 2, 5, 8, 3, 9]，我们需要按照二进制中的1的个数对其进行排序。

首先，我们计算每个数字二进制表示中1的个数：

10 (1010) -> 2
11 (1011) -> 3
2 (0010) -> 1
5 (0101) -> 2
8 (1000) -> 1
3 (0011) -> 2
9 (1001) -> 2

接下来，我们按照1的个数对数字进行排序：

2 (0010)
8 (1000)
10 (1010)
5 (0101)
3 (0011)
9 (1001)
11 (1011)

最后，如果有多个数字具有相同的1的个数，则按照数字大小进行排序：

2 (0010)
8 (1000)
3 (0011)
5 (0101)
10 (1010)
9 (1001)
11 (1011)

因此，最终排序后的结果为：[2, 8, 3, 5, 10, 9, 11]。

时间复杂度

二进制排序算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是数组的长度。与大多数排序算法相同，二进制排序算法也需要对数组进行排序，而排序算法的时间复杂度通常为O(n log n)。然而，在某些情况下，当数组中的数字具有相似的二进制表示时，二进制排序算法可能会表现得更好。

代码示例

为了让大家更直观地了解二进制排序算法的实现，我们提供以下Python代码示例：

def binary_sort(nums):
    """
    对列表nums中的数字进行二进制排序。

    参数：
    nums：要排序的数字列表。

    返回：
    已排序的数字列表。
    """

    def get_num_ones(num):
        """
        计算给定数字的二进制表示中1的个数。

        参数：
        num：要计算的数字。

        返回：
        数字二进制表示中1的个数。
        """
        num_ones = 0
        while num > 0:
            if num % 2 == 1:
                num_ones += 1
            num //= 2
        return num_ones

    # 根据二进制表示中1的个数对数字进行排序。
    nums.sort(key=get_num_ones)

    # 返回已排序的数字列表。
    return nums