解析直线与平面的交点：解析几何的巧妙应用

当直线与平面相遇且不平行时，它们必定存在一个交点。让我们踏上一段解析几何的旅程，探索如何巧妙地求出这个交点，揭示其中的数学奥秘。

问题的提出

设直线方程为：r = a + tb

平面方程为：n·(x - c) = 0

其中：

• a 为直线上的一个已知点
• b 为直线的方向向量
• n 为平面的法向量
• c 为平面上的一个已知点

要求直线与平面的交点 D 。

求解过程

1. 求点 ** B 到平面的距离**

d = (a - c)·n / |n|

• a 为直线上的一个已知点
• c 为平面上的一个已知点
• n 为平面的法向量

2. 根据距离符号确定交点位置

• d > 0 ：交点在平面的正方向（即法线正方向）
• d = 0 ：交点在平面上
• d < 0 ：交点在平面的反方向

3. 利用比例定理求交点 ** D**

DB / BC = -d / |b|

• DB 为交点 D 到点 B 的距离
• BC 为直线段 BC 的长度
• d 为点 B 到平面的距离
• b 为直线的方向向量

4. 计算交点 ** D 的坐标**

D = a + DB·b

其中：

• a 为直线上的一个已知点
• DB 为交点 D 到点 B 的距离
• b 为直线的方向向量

示例

已知直线方程为：r = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)

平面方程为：2x + y - z = 5

求直线与平面的交点。

解：

1. 求点 ** B 到平面的距离**

d = (1, 2, 3) - (0, 0, 0)·(2, 1, -1) / √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = 5 / √6

2. 根据距离符号确定交点位置

d = 5 / √6 > 0 ，所以交点在平面的正方向（即法线正方向）。

3. 利用比例定理求交点 ** D**

DB / BC = -d / |b| = -5 / √6 / √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = -5 / 6

DB = -5 / 6 * √6 = -5 / 2

4. 计算交点 ** D 的坐标**

D = (1, 2, 3) + (-5 / 2)·(2, 1, -1) = (-3, 7 / 2, 13 / 2)

因此，直线与平面的交点 D 为 (-3, 7 / 2, 13 / 2) 。