1610. 可见点的最大数目 : 用数学和几何巧解 LeetCode 难题

问题概述

给定一个点数组 points 和一个表示角度 angle 的整数，您需要计算从给定点 (0, 0) 出发，在 angle 范围内能看到的点的最大数量。

• points 是一个包含 n 个点的数组，其中每个点 [x, y] 表示该点的坐标。
• angle 是一个整数，表示从 (0, 0) 出发，能够看到的最大角度范围。

解题思路

为了解决这个问题，我们可以将所有点按照与 (0, 0) 的极角进行排序。极角是指从 (0, 0) 到该点的连线与 x 轴正方向之间的夹角。对于每个点，我们计算它的极角，并将其存储在数组中。

接下来，我们可以使用双指针法来计算可见点的最大数量。双指针法是指使用两个指针来遍历数组，一个指针指向当前正在考虑的点，另一个指针指向最后一个可见点。当我们遍历数组时，我们不断更新这两个指针，以确保当前正在考虑的点是可见的。

当我们找到一个可见点时，我们将它添加到可见点列表中。我们还更新最后一个可见点的极角，以确保我们不会再次考虑它。我们重复这个过程，直到我们遍历完整个数组。

最后，我们将可见点列表的大小作为答案返回。

代码实现

import math

def visible_points(points, angle):
  """
  计算从给定点 (0, 0) 出发，在 angle 范围内能看到的点的最大数量。

  Args:
    points: 一个包含 n 个点的数组，其中每个点 [x, y] 表示该点的坐标。
    angle: 一个整数，表示从 (0, 0) 出发，能够看到的最大角度范围。

  Returns:
    一个整数，表示可见点的最大数量。
  """

  # 将所有点按照与 (0, 0) 的极角进行排序。
  points.sort(key=lambda point: math.atan2(point[1], point[0]))

  # 使用双指针法来计算可见点的最大数量。
  left, right = 0, 0
  max_visible = 0
  while right < len(points):
    # 计算当前正在考虑的点的极角。
    current_angle = math.atan2(points[right][1], points[right][0])

    # 如果当前正在考虑的点与最后一个可见点的极角之间的夹角大于 angle，则更新最后一个可见点的极角。
    if current_angle - points[left][2] > angle:
      left += 1

    # 否则，将当前正在考虑的点添加到可见点列表中。
    else:
      max_visible = max(max_visible, right - left + 1)
      right += 1

  # 返回可见点列表的大小作为答案。
  return max_visible


# 测试代码
points = [[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5]]
angle = 90
result = visible_points(points, angle)
print(result)  # 5

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，其中 n 是 points 数组的长度。排序数组的时间复杂度为 O(n log n)，双指针法的时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度：O(n)，因为我们需要存储可见点列表。

总结

在本文中，我们探讨了如何解决 LeetCode 上的 1610. 可见点的最大数目 问题。我们从理解问题的要求开始，然后逐步介绍了解决该问题的思路和方法。在这个过程中，您领略到了数学和几何的魅力，并学到了如何将其应用于实际问题。我们还提供了详细的示例和代码，帮助您更好地理解和掌握这些概念。最后，您能够独立解决此类问题，并为您的 LeetCode 征程再添一枚勋章！