通过区间 DP 算法轻松掌握卡特兰数

2023-10-29 05:33:29

卡特兰数：理解算法竞赛中的重要概念

在算法竞赛的竞技场上，卡特兰数是一个备受推崇的概念，它在解决各种组合问题中发挥着至关重要的作用。它不仅为二叉搜索树数量的计算提供了一个优雅的框架，还为多边形的划分方案数和凸多边形的三角剖分方案数等问题打开了大门。

卡特兰数：揭开定义的神秘面纱

卡特兰数，又称卡塔兰数，是一种特殊的整数序列，其第 n 个数记为 C(n)，它的数学定义如下：

C(n) = (1 / (n+1)) * (2n choose n)

其中，(2n choose n)表示从2n个元素中选出n个元素的组合数。卡特兰数有着广泛的应用，在解决各种算法问题中扮演着关键角色。

区间 DP 算法：征服组合问题的利器

区间 DP 算法，也称为分治 DP 算法，是一种解决动态规划问题的有力武器。它将问题巧妙地划分为若干个子区间，然后逐步解决每个子区间的问题，最后将子区间的解组合起来得到最终的解。这种分治的思想使区间 DP 算法在解决复杂问题时展现出强大的优势。

卡特兰数与 LeetCode 96：二叉搜索树数量的探究

LeetCode 96 问题要求给定一个正整数 n，求出由 n 个不同的正整数构成的所有不同的二叉搜索树的数量。这个问题看似复杂，但我们可以利用卡特兰数的巧妙特性来将其转化为一个组合问题。

使用区间 DP 算法，我们将问题划分为 n 个子区间，每个子区间包含一个正整数。然后，我们递归地求解每个子区间内的二叉搜索树数量，最后将子区间的解组合起来得到最终的答案。

区间 DP 算法的 Python 实现：

def num_bst(n):
    """
    给定一个整数 n，求出由 n 个不同的正整数构成的所有不同的二叉搜索树的数量。

    Args:
        n: 整数

    Returns:
        整数
    """

    # 缓存已计算过的结果
    memo = {}

    def helper(start, end):
        """
        求出由 [start, end] 区间内的所有不同正整数构成的所有不同二叉搜索树的数量。

        Args:
            start: 整数
            end: 整数

        Returns:
            整数
        """

        # 如果区间为空，则返回 1
        if start > end:
            return 1

        # 如果区间已经计算过，则直接返回结果
        key = (start, end)
        if key in memo:
            return memo[key]

        # 否则，递归地计算子区间的解
        result = 0
        for i in range(start, end + 1):
            left_num = helper(start, i - 1)
            right_num = helper(i + 1, end)
            result += left_num * right_num

        # 将结果缓存起来
        memo[key] = result

        return result

    return helper(1, n)